Ví dụ: Hàm số logarit

Bài: Hàm số Logarit

1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 10, chúng ta đã làm quen với khái niệm logarit thông qua định nghĩa: Với hai số dương a và b (a ≠ 1), logarit cơ số a của b, ký hiệu logₐ b, là số x sao cho aˣ = b. Ví dụ: log₂ 8 = 3 vì 2³ = 8. Bài học hôm nay sẽ tập trung vào hàm số logarit, tức là hàm số có dạng y = logₐ x (với a > 0, a ≠ 1), và đi sâu vào các ví dụ minh họa từng bước để hiểu rõ cách tính toán và ứng dụng.

2. Lý thuyết về hàm số logarit

Hàm số logarit cơ số a: y = logₐ x, với a > 0 và a ≠ 1.

• Tập xác định: (0; +∞) (vì logarit chỉ xác định với số dương).
• Tập giá trị: ℝ (luôn cho ra mọi số thực).
• Tính đơn điệu:
  • Nếu a > 1: hàm số đồng biến (x tăng thì y tăng).
  • Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến (x tăng thì y giảm).
• Đồ thị: Đi qua điểm (1; 0) vì logₐ 1 = 0, và luôn nằm bên phải trục Oy.

Để tính giá trị hoặc giải phương trình logarit, ta thường dùng định nghĩa hoặc các tính chất như:

• logₐ (b.c) = logₐ b + logₐ c
• logₐ (b/c) = logₐ b - logₐ c
• logₐ bⁿ = n.logₐ b

3. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức logarit sau:

1. A = log₃ 81
2. B = log₁/₂ 8
3. C = log₅ (1/25)

Bước 1: Xác định cơ số và biểu thức trong logarit.

Với A: cơ số 3, biểu thức là 81. Ta đặt log₃ 81 = x, nghĩa là 3ˣ = 81.

Bước 2: Viết 81 dưới dạng lũy thừa của 3.

Ta có: 81 = 3⁴. Vậy 3ˣ = 3⁴, suy ra x = 4.

Kết quả: A = 4.

Với B: cơ số 1/2, biểu thức là 8. Đặt log₁/₂ 8 = y, nghĩa là (1/2)ʸ = 8.

Bước 3: Đưa về cùng cơ số.

Viết 8 = 2³, và (1/2)ʸ = 2⁻ʸ. Ta có phương trình: 2⁻ʸ = 2³, suy ra -y = 3, tức y = -3.

Kết quả: B = -3.

Với C: cơ số 5, biểu thức là 1/25. Đặt log₅ (1/25) = z, nghĩa là 5ᶻ = 1/25.

Bước 4: Viết 1/25 dưới dạng lũy thừa của 5.

1/25 = 5⁻². Vậy 5ᶻ = 5⁻², suy ra z = -2.

Kết quả: C = -2.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = log₂ (x - 1). Hãy:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính giá trị của hàm số tại x = 3, x = 5.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Hàm số y = log₂ (x - 1) xác định khi biểu thức trong logarit dương: x - 1 > 0 ⇔ x > 1.

Vậy tập xác định: D = (1; +∞).

Bước 2: Tính giá trị tại x = 3.

Thay x = 3 vào hàm số: y = log₂ (3 - 1) = log₂ 2.

Ta có log₂ 2 = 1 vì 2¹ = 2. Vậy y(3) = 1.

Bước 3: Tính giá trị tại x = 5.

Thay x = 5: y = log₂ (5 - 1) = log₂ 4.

log₂ 4 = 2 vì 2² = 4. Vậy y(5) = 2.

Kết luận: Tập xác định D = (1; +∞). Tại x = 3, y = 1; tại x = 5, y = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình log₃ (2x + 1) = 2.

Bước 1: Điều kiện xác định.

Biểu thức 2x + 1 > 0 ⇔ x > -1/2.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa logarit.

log₃ (2x + 1) = 2 có nghĩa là 3² = 2x + 1.

Bước 3: Giải phương trình.

3² = 9, vậy: 9 = 2x + 1 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện.

x = 4 > -1/2 (thỏa mãn). Vậy nghiệm là x = 4.

4. Ghi nhớ

• Hàm số logarit y = logₐ x chỉ xác định khi x > 0 và a > 0, a ≠ 1.
• Để tính logarit, hãy đặt bằng ẩn và chuyển về dạng lũy thừa: logₐ b = x ⇔ aˣ = b.
• Khi giải phương trình logarit, luôn nhớ đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit dương, sau đó mới áp dụng định nghĩa hoặc tính chất.

5. Bài tập gợi ý

1. Tính giá trị:
   • a) log₂ 16
   • b) log₃ (1/27)
   • c) log₀.₅ 4
2. Tìm tập xác định của hàm số y = log₅ (3x - 6).
3. Giải phương trình log₂ (x + 3) = 3.
4. Cho hàm số y = log₂ (x² - 1). Tính y tại x = 3 và x = √2.