Ví dụ: Hàm số mũ

Bài học: Hàm số mũ – Tìm hiểu qua ví dụ minh họa

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 10, chúng ta đã làm quen với các hàm số như hàm bậc nhất, bậc hai. Hôm nay, các em sẽ bước đầu tìm hiểu về một dạng hàm số mới và rất quan trọng: hàm số mũ. Hàm số mũ xuất hiện nhiều trong thực tế, từ sự tăng trưởng dân số, lãi suất ngân hàng đến sự phân rã của chất phóng xạ. Để bắt đầu, chúng ta cần nắm vững khái niệm lũy thừa vì nó là nền tảng của hàm số mũ. Bài học này sẽ tập trung vào các ví dụ minh họa cụ thể từng bước để các em hiểu rõ hơn.

1. Khái niệm lũy thừa (nhắc lại và mở rộng)

Lũy thừa là phép toán nâng một số lên một số mũ. Các em đã biết:

• Với số mũ nguyên dương: \(a^n = a \times a \times ... \times a\) (n thừa số a).
• Với số mũ nguyên âm: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (với \(a \neq 0\)).
• Với số mũ bằng 0: \(a^0 = 1\) (với \(a \neq 0\)).

Trong bài này, chúng ta sẽ mở rộng sang lũy thừa với số mũ thực. Nếu a là một số thực dương và x là một số thực bất kỳ, thì \(a^x\) được gọi là một lũy thừa. Hàm số có dạng \(y = a^x\) (với a > 0, a ≠ 1) gọi là hàm số mũ.

2. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tính giá trị của hàm số mũ tại một điểm

Đề bài: Cho hàm số \(y = 2^x\). Hãy tính giá trị của hàm số tại x = 0, x = 3, x = -1, x = \(\frac{1}{2}\).

Giải từng bước:

1. Bước 1: Xác định hàm số: Đây là hàm số mũ với cơ số a = 2.
2. Bước 2: Lần lượt thay các giá trị của x vào công thức \(y = 2^x\):
   • Tại x = 0: \(y = 2^0 = 1\).
   • Tại x = 3: \(y = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).
   • Tại x = -1: \(y = 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}\).
   • Tại x = \(\frac{1}{2}\): \(y = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414\).
3. Bước 3: Kết luận: Các giá trị tương ứng lần lượt là 1, 8, \(\frac{1}{2}\), \(\sqrt{2}\).

Nhận xét: Khi x là số thực bất kỳ, ta đều tính được giá trị của \(2^x\).

Ví dụ 2: Xét tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ

Đề bài: Cho hai hàm số \(y = 3^x\) và \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\). Hãy so sánh giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và x = 2, từ đó nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến.

Giải từng bước:

1. Bước 1: Xét hàm số \(y = 3^x\):
   • Tại x = 1: \(y = 3^1 = 3\).
   • Tại x = 2: \(y = 3^2 = 9\).
   • Vì 2 > 1 và 9 > 3, nên khi x tăng thì y tăng. Vậy hàm số \(y = 3^x\) đồng biến trên tập số thực.
2. Bước 2: Xét hàm số \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\):
   • Tại x = 1: \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}\).
   • Tại x = 2: \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).
   • Vì 2 > 1 nhưng \(\frac{1}{9} < \frac{1}{3}\), nên khi x tăng thì y giảm. Vậy hàm số \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\) nghịch biến trên tập số thực.
3. Bước 3: Kết luận: Hàm số mũ \(y = a^x\) đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1.

Ví dụ 3: Ứng dụng thực tế – Lãi suất kép

Đề bài: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 7% một năm, tính theo hình thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? (Biết công thức: \(T = A \times (1 + r)^t\), với A là số tiền gốc, r là lãi suất kỳ hạn, t là số kỳ hạn).

Giải từng bước:

1. Bước 1: Xác định các đại lượng:
   • Số tiền gốc: A = 100 (triệu đồng).
   • Lãi suất: r = 7% = 0,07.
   • Thời gian: t = 2 (năm).
2. Bước 2: Thay vào công thức hàm mũ: \(T = 100 \times (1 + 0,07)^2 = 100 \times (1,07)^2\).
3. Bước 3: Tính giá trị lũy thừa: \((1,07)^2 = 1,07 \times 1,07 = 1,1449\).
4. Bước 4: Tính kết quả: \(T = 100 \times 1,1449 = 114,49\) (triệu đồng).
5. Bước 5: Kết luận: Sau 2 năm, người đó nhận được 114,49 triệu đồng.

Giải thích: Công thức này chính là một dạng của hàm số mũ với biến số t.

3. Ghi nhớ

• Hàm số mũ có dạng \(y = a^x\) với a > 0 và a ≠ 1.
• Lũy thừa với số mũ thực vẫn giữ nguyên các tính chất cơ bản: \(a^0 = 1\), \(a^{-x} = \frac{1}{a^x}\), \(a^{m+n} = a^m \times a^n\).
• Tính chất quan trọng: Khi a > 1, hàm số đồng biến (tăng). Khi 0 < a < 1, hàm số nghịch biến (giảm).

4. Bài tập gợi ý

Bài 1: Cho hàm số \(y = 5^x\). Tính giá trị của hàm số tại x = 0, x = 2, x = -2, x = \(\frac{1}{3}\).

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? Vì sao?

• \(y = 4^x\)
• \(y = 0,5^x\)
• \(y = \left(\frac{3}{2}\right)^x\)

Bài 3 (Ứng dụng): Một loại vi khuẩn ban đầu có 1000 con, cứ sau 1 giờ thì số lượng tăng gấp đôi. Số lượng vi khuẩn sau t giờ được tính bằng công thức \(N = 1000 \times 2^t\). Hỏi sau 3 giờ có bao nhiêu vi khuẩn?