Ví dụ: Ôn tập đại số

Bài ôn tập: Rèn luyện kỹ năng giải toán Đại số 10

1. Giới thiệu bài học

Các em học sinh thân mến, kỳ thi tốt nghiệp THPT đang đến gần. Trong chương trình Toán 10, phần Đại số chiếm một vị trí rất quan trọng, là nền tảng để các em học tốt các lớp sau. Bài học hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại một số dạng toán điển hình, thông qua các ví dụ minh họa cụ thể, từng bước một, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin hơn khi bước vào kỳ thi.

2. Lý thuyết trọng tâm (Nhắc lại nhanh)

Để giải tốt các bài tập, chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức cốt lõi sau:

• Hàm số bậc hai: Dạng tổng quát y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Đỉnh của Parabol là I(-b/2a ; -Δ/4a).
• Dấu của tam thức bậc hai: Nếu Δ < 0, tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x. Nếu Δ = 0, tam thức cùng dấu với a (trừ tại nghiệm). Nếu Δ > 0, tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ (x₁ < x₂) và "Trong trái, ngoài cùng".
• Bất phương trình bậc hai: Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai.
• Phương trình quy về bậc hai: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức.

3. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

Đề bài: Giải bất phương trình: -x² + 4x - 3 > 0.

Bài giải từng bước:

• Bước 1 (Xác định hệ số): Đây là tam thức bậc hai có a = -1, b = 4, c = -3.
• Bước 2 (Tính biệt thức Δ): Δ = b² - 4ac = 16 - 4.(-1).(-3) = 16 - 12 = 4 > 0. Vậy tam thức có hai nghiệm phân biệt.
• Bước 3 (Tìm nghiệm): x₁ = (-4 + 2)/(2.(-1)) = (-2)/(-2) = 1. x₂ = (-4 - 2)/(-2) = (-6)/(-2) = 3.
• Bước 4 (Xét dấu): Vì a = -1 < 0, nên tam thức -x² + 4x - 3 > 0 (trái dấu với a) khi x nằm trong khoảng hai nghiệm.
• Bước 5 (Kết luận): Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1 ; 3).

Ví dụ 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về bậc hai

Đề bài: Giải phương trình: (2x + 5)/(x - 1) = x + 2.

Bài giải từng bước:

• Bước 1 (Tìm điều kiện xác định): Mẫu số x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.
• Bước 2 (Quy đồng khử mẫu): Với x ≠ 1, ta có: 2x + 5 = (x + 2)(x - 1) ⇒ 2x + 5 = x² + 2x - x - 2 ⇒ 2x + 5 = x² + x - 2.
• Bước 3 (Chuyển vế đưa về phương trình bậc hai): 0 = x² + x - 2 - 2x - 5 ⇒ x² - x - 7 = 0.
• Bước 4 (Giải phương trình bậc hai): Tính Δ = (-1)² - 4.1.(-7) = 1 + 28 = 29. Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = (1 + √29)/2 ≈ 3,19; x₂ = (1 - √29)/2 ≈ -2,19.
• Bước 5 (So sánh với điều kiện): Cả hai nghiệm đều khác 1.
• Bước 6 (Kết luận): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = (1 + √29)/2 và x = (1 - √29)/2.

Ví dụ 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đề bài: Giải phương trình: |3x - 2| = x + 4.

Bài giải từng bước:

• Bước 1 (Đặt điều kiện cho vế phải): Vì |A| ≥ 0, nên vế phải cũng phải ≥ 0: x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4.
• Bước 2 (Phá dấu giá trị tuyệt đối):
  • Trường hợp 1: Nếu 3x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3. Phương trình trở thành: 3x - 2 = x + 4 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 (thỏa mãn x ≥ 2/3 và x ≥ -4).
  • Trường hợp 2: Nếu 3x - 2 < 0 ⇒ x < 2/3. Phương trình trở thành: -(3x - 2) = x + 4 ⇒ -3x + 2 = x + 4 ⇒ -4x = 2 ⇒ x = -0,5 (thỏa mãn x < 2/3 và x ≥ -4).
• Bước 3 (Kết luận): Phương trình có hai nghiệm là x = 3 và x = -0,5.

4. Ghi nhớ

Để làm tốt các bài toán ôn thi đại số, các em cần ghi nhớ:

• Đọc kỹ đề bài để xác định đúng dạng toán.
• Nắm vững lý thuyết: công thức nghiệm của phương trình bậc hai, định lý dấu của tam thức bậc hai.
• Luôn kiểm tra điều kiện (nếu có) khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• Trình bày bài giải rõ ràng, từng bước để tránh sai sót và mất điểm đáng tiếc.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài tập sau để củng cố kiến thức nhé:

1. Giải bất phương trình: x² - 5x + 6 < 0.
2. Giải phương trình: (x² - 4)/(x + 2) = x - 3.
3. Giải phương trình: |2x + 1| = 3 - x.
4. Tìm tham số m để phương trình x² - 2(m + 1)x + m² - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!