Ví dụ: Ôn tập giải tích

Bài: Ôn tập giải tích – Ví dụ minh họa từng bước

Giới thiệu

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THPT, giải tích là một phần quan trọng, chiếm tỉ lệ lớn trong đề thi. Bài học này sẽ tập trung vào các dạng bài điển hình, hướng dẫn giải chi tiết từng bước giúp em nắm vững phương pháp và tự tin khi làm bài.

Lý thuyết cần nhớ

Để giải tốt các bài toán giải tích, em cần ôn lại các khái niệm và công thức cơ bản sau:

• Khảo sát hàm số: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
• Nguyên hàm và tích phân: Công thức nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến, tích phân từng phần.
• Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

1. Bước 1: Tập xác định. Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
2. Bước 2: Tính đạo hàm. y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Cho y' = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2.
3. Bước 3: Bảng biến thiên.
   • Khoảng (-∞; 0): y' > 0, hàm số đồng biến.
   • Khoảng (0; 2): y' < 0, hàm số nghịch biến.
   • Khoảng (2; +∞): y' > 0, hàm số đồng biến.
   • Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2.
   • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = -2.
4. Bước 4: Tìm giới hạn và tiệm cận.
   • lim (x→-∞) y = -∞
   • lim (x→+∞) y = +∞
   • Hàm số không có tiệm cận (vì là hàm đa thức bậc ba).
5. Bước 5: Vẽ đồ thị. Xác định các điểm đặc biệt: (0; 2), (2; -2), giao điểm với trục Oy: (0; 2), giao điểm với trục Ox: giải x³ - 3x² + 2 = 0, tìm được x = 1 và x ≈ -0,73; x ≈ 2,73. Vẽ đường cong đi qua các điểm này.

Ví dụ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Đề bài: Tính tích phân I = ∫(0 đến 1) x * e^(x²) dx.

1. Bước 1: Đặt biến phụ. Đặt t = x² ⇒ dt = 2x dx ⇒ x dx = dt/2.
2. Bước 2: Đổi cận.
   • Khi x = 0 thì t = 0.
   • Khi x = 1 thì t = 1.
3. Bước 3: Thay vào tích phân. I = ∫(0 đến 1) e^t * (dt/2) = (1/2) ∫(0 đến 1) e^t dt.
4. Bước 4: Tính tích phân. (1/2) * e^t | (0 đến 1) = (1/2)(e¹ - e⁰) = (e - 1)/2.

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² - 2x và trục hoành (Ox).

1. Bước 1: Tìm giao điểm với trục hoành. Giải x² - 2x = 0 ⇔ x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
2. Bước 2: Xét dấu của hàm số trên [0; 2]. Với x thuộc (0; 2), x² - 2x < 0 nên diện tích S = ∫(0 đến 2) |x² - 2x| dx = -∫(0 đến 2) (x² - 2x) dx.
3. Bước 3: Tính tích phân.
   • ∫ (x² - 2x) dx = (x³/3) - x².
   • Tính từ 0 đến 2: [(8/3) - 4] - [0 - 0] = 8/3 - 12/3 = -4/3.
   • Vậy S = -(-4/3) = 4/3 (đơn vị diện tích).

Ghi nhớ

Khi làm bài giải tích, em cần ghi nhớ các bước chính sau:

• Đọc kĩ đề: Xác định dạng bài (khảo sát hàm, tích phân, diện tích...).
• Áp dụng đúng công thức: Đạo hàm, nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân.
• Kiểm tra dấu: Đối với diện tích, cần lấy trị tuyệt đối.
• Trình bày rõ ràng: Từng bước một, tránh nhảy bước gây sai sót.

Bài tập gợi ý

Em hãy tự luyện tập các bài tập sau đây để củng cố kiến thức:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1.
2. Tính tích phân J = ∫(0 đến π/2) cos x * sin² x dx.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - 4x + 3 và trục hoành.
4. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, y = 0, x = 0, x = 4 quanh trục Ox.

Chúc em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới!