Ví dụ: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sin x = a

Điều kiện có nghiệm: |a| ≤ 1 (vì giá trị của hàm sin luôn nằm trong đoạn [-1; 1]). Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1, ta có công thức nghiệm (với α là một góc thỏa mãn sin α = a, thường được tìm từ bảng giá trị đặc biệt hoặc máy tính):

Nghiệm thứ nhất: x = α + k2π (k ∈ ℤ)
Nghiệm thứ hai: x = π − α + k2π (k ∈ ℤ)

Giải thích ngắn gọn: Trên đường tròn lượng giác, có hai điểm có tung độ bằng a, đó là điểm M ứng với góc α và điểm M' ứng với góc π − α. Khi quay thêm các vòng tròn (k2π), ta được vô số nghiệm.

2. Phương trình cos x = a

Điều kiện có nghiệm: |a| ≤ 1. Nếu |a| > 1 thì vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1, gọi β là góc thỏa mãn cos β = a. Ta có công thức nghiệm:

Nghiệm thứ nhất: x = β + k2π (k ∈ ℤ)
Nghiệm thứ hai: x = −β + k2π (k ∈ ℤ)

Giải thích: Trên đường tròn lượng giác, có hai điểm có hoành độ bằng a, đó là điểm ứng với góc β và góc −β.

Ví dụ 1: Giải phương trình sin x = 1/2

Bước 1: Xét điều kiện. Ta thấy a = 1/2 có |1/2| ≤ 1 nên phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm góc α đặc biệt. Dựa vào bảng giá trị lượng giác đã học, ta biết sin (π/6) = 1/2. Vậy α = π/6.

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin x = a:

• Nghiệm thứ nhất: x = π/6 + k2π (k ∈ ℤ)
• Nghiệm thứ hai: x = π − π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Phương trình có hai họ nghiệm: x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π (với k là số nguyên).

Kiểm tra: Với k = 0, ta có x = 30° và x = 150°. Thay vào, sin 30° = 0.5 và sin 150° = 0.5. Đúng!

Ví dụ 2: Giải phương trình cos x = √2/2

Bước 1: a = √2/2, có |√2/2| ≤ 1, vậy phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm góc β sao cho cos β = √2/2. Theo bảng giá trị đặc biệt, cos (π/4) = √2/2. Vậy β = π/4.

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình cos x = a:

• Nghiệm thứ nhất: x = π/4 + k2π (k ∈ ℤ)
• Nghiệm thứ hai: x = −π/4 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Phương trình có hai họ nghiệm: x = π/4 + k2π và x = −π/4 + k2π (với k ∈ ℤ).

Một cách viết khác: Đôi khi người ta gộp hai nghiệm lại thành x = ± π/4 + k2π.

Ví dụ 3: Giải phương trình sin x = 3

Bước 1: a = 3. Ta thấy |3| = 3 > 1.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm. Vì giá trị của sin x luôn nằm trong đoạn [-1; 1], không thể bằng 3.

Ví dụ 4: Giải phương trình cos x = −1/2

Bước 1: a = −1/2 thỏa mãn |−1/2| ≤ 1, nên có nghiệm.

Bước 2: Tìm góc β. Theo bảng giá trị đặc biệt, cos (2π/3) = −1/2. Vậy ta có thể chọn β = 2π/3. Cũng có thể chọn β = −2π/3 nhưng thường người ta chọn góc dương nhỏ gọn hơn.

Bước 3: Áp dụng công thức:

• Nghiệm thứ nhất: x = 2π/3 + k2π (k ∈ ℤ)
• Nghiệm thứ hai: x = −2π/3 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 2π/3 + k2π hoặc x = −2π/3 + k2π (k ∈ ℤ).