Ví dụ: Phương trình lượng giác tổng hợp

Bài học: Ví dụ phương trình lượng giác tổng hợp

Giới thiệu

Các em thân mến, trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo, chúng ta đã làm quen với nhiều dạng phương trình lượng giác cơ bản như sin x = a, cos x = a, tan x = a và cot x = a. Bài học hôm nay sẽ giúp các em vận dụng công thức lượng giác đã học để giải các phương trình phức tạp hơn, kết hợp nhiều bước biến đổi. Mục tiêu là rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán và giải từng bước một cách rõ ràng.

Lý thuyết cần nhớ

Để giải được các phương trình lượng giác tổng hợp, các em cần ghi nhớ một số công thức lượng giác quan trọng:

• Công thức cộng: sin(a ± b) và cos(a ± b).
• Công thức nhân đôi: sin2a = 2 sin a cos a; cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2 sin²a.
• Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích.
• Công thức cơ bản: sin²x + cos²x = 1; tan x = sin x / cos x; cot x = cos x / sin x.

Các bước giải ví dụ tổng hợp

Khi gặp một phương trình lượng giác phức tạp, các em nên thực hiện theo các bước:

1. Quan sát và nhận dạng loại phương trình (có thể đưa về cùng một hàm số lượng giác hay không).
2. Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng quen thuộc (ví dụ: phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với sin, cos, hoặc đưa về một trong các dạng cơ bản).
3. Giải phương trình cơ bản đã biến đổi được.
4. Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin2x = cos x.

Bước 1: Nhận thấy vế trái là sin2x, vế phải là cos x. Ta có thể dùng công thức nhân đôi.

Bước 2: Áp dụng sin2x = 2 sin x cos x, phương trình trở thành:

2 sin x cos x = cos x

Bước 3: Chuyển vế: 2 sin x cos x – cos x = 0

⇔ cos x ( 2 sin x – 1 ) = 0

Bước 4: Giải từng trường hợp:

• cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z).
• 2 sin x – 1 = 0 ⇔ sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z).

Kết luận: Nghiệm của phương trình là: x = π/2 + kπ; x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z).

Lưu ý: Không được chia cả hai vế cho cos x ngay lập tức vì sẽ làm mất nghiệm cos x = 0. Các em cần đưa về dạng tích.

Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x + cos x = 1.

Bước 1: Đây là dạng phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x. Ta có thể dùng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc đặt ẩn phụ bằng cách viết lại:

sin x + cos x = √2 sin(x + π/4). (Công thức này có được từ công thức cộng)

Bước 2: Phương trình trở thành:

√2 sin(x + π/4) = 1 ⇔ sin(x + π/4) = 1/√2 = √2/2.

Bước 3: Giải phương trình cơ bản:

sin α = √2/2 ⇔ α = π/4 + k2π hoặc α = 3π/4 + k2π (k ∈ Z).

Do đó: x + π/4 = π/4 + k2π ⇔ x = k2π

hoặc x + π/4 = 3π/4 + k2π ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z).

Kết luận: Nghiệm x = k2π; x = π/2 + k2π (k ∈ Z).

Ví dụ 3: Giải phương trình: cos2x + sin x = 0.

Bước 1: Ta thấy cos2x có thể biến đổi về sin x bằng công thức nhân đôi: cos2x = 1 – 2 sin²x.

Bước 2: Phương trình trở thành: 1 – 2 sin²x + sin x = 0 ⇔ –2 sin²x + sin x + 1 = 0 ⇔ 2 sin²x – sin x – 1 = 0

Đặt t = sin x (với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1). Ta có: 2t² – t – 1 = 0.

Bước 3: Giải phương trình bậc hai: t = 1 hoặc t = –1/2.

• t = 1 ⇒ sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z).
• t = –1/2 ⇒ sin x = –1/2 ⇔ x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k ∈ Z).

Kết luận: Nghiệm của phương trình: x = π/2 + k2π; x = –π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π (k ∈ Z).

Ghi nhớ

• Khi giải phương trình lượng giác tổng hợp, hãy linh hoạt sử dụng các công thức lượng giác phù hợp với dạng bài.
• Luôn đưa phương trình về dạng tích hoặc dạng bậc hai trước khi giải để tránh mất nghiệm.
• Nếu chứa sin x và cos x cùng bậc nhất, có thể dùng công thức sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) hoặc sin x – cos x = √2 sin(x – π/4).
• Nhớ kiểm tra điều kiện có nghĩa của phương trình (ví dụ mẫu số khác 0, tan x, cot x xác định).

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập thêm các phương trình sau, áp dụng các bước đã học:

1. Giải phương trình: sin x + sin3x = 0. (Gợi ý: dùng công thức tổng thành tích)
2. Giải phương trình: cos2x + cos x = 0. (Gợi ý: dùng công thức nhân đôi hoặc tổng thành tích)
3. Giải phương trình: tan x – cot x = 0. (Gợi ý: đưa về sin và cos, tìm điều kiện)
4. Giải phương trình: 2 sin²x + 5 sin x – 3 = 0. (Gợi ý: phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Chúc các em học tốt và thành công trong việc chinh phục các phương trình lượng giác!