Ví dụ: Hàm số logarit

Ví dụ: Hàm số Logarit

Giới thiệu

Trong bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu về hàm số mũ. Hôm nay, chúng ta sẽ khám phá một khái niệm quan trọng không kém: hàm số logarit. Logarit là phép toán ngược của phép lũy thừa, giúp chúng ta tìm số mũ khi biết giá trị của lũy thừa và cơ số. Trong bài này, chúng ta sẽ tập trung vào các ví dụ cụ thể, từng bước một, để hiểu rõ cách tính và ứng dụng của logarit.

Lý thuyết về Logarit

Định nghĩa: Cho hai số dương a và b với a ≠ 1. Số thực x thỏa mãn a^x = b được gọi là logarit cơ số a của b, ký hiệu là log_ab.

Như vậy, ta có: x = log_ab ⇔ a^x = b.

Ví dụ mở đầu: Hãy nhẩm nhanh: 2 mũ mấy bằng 8? Đúng vậy, 2³ = 8. Vậy, theo định nghĩa, log₂8 = 3.

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tính logarit dựa trên định nghĩa

Yêu cầu: Tính log₃81.

• Bước 1: Đặt x = log₃81. Theo định nghĩa, ta có: 3^x = 81.
• Bước 2: Biến đổi vế phải: 81 = 3⁴ (vì 3 × 3 × 3 × 3 = 81).
• Bước 3: So sánh số mũ: Từ 3^x = 3⁴, suy ra x = 4.
• Kết luận: Vậy log₃81 = 4.

Ví dụ 2: Tính logarit với cơ số là phân số

Yêu cầu: Tính log_1/28.

1. Bước 1: Đặt x = log_1/28. Suy ra: (1/2)^x = 8.
2. Bước 2: Viết lại (1/2)^x = 2^-x. Vế phải 8 = 2³.
3. Bước 3: Ta có phương trình: 2^-x = 2³. So sánh số mũ: -x = 3.
4. Bước 4: Nhân hai vế với -1, ta được x = -3.
5. Kết luận: Vậy log_1/28 = -3.

Ví dụ 3: Tìm cơ số khi biết logarit

Yêu cầu: Tìm a biết log_a16 = 2 và a > 0, a ≠ 1.

• Bước 1: Áp dụng định nghĩa: log_a16 = 2 ⇔ a² = 16.
• Bước 2: Giải phương trình: a² = 16 ⇒ a = 4 hoặc a = -4.
• Bước 3: Điều kiện a > 0, a ≠ 1 nên loại a = -4.
• Kết luận: Vậy a = 4.

Ví dụ 4: Tìm giá trị của biểu thức logarit

Yêu cầu: Tính giá trị của A = log₅125 + log₂1.

1. Bước 1: Tính từng số hạng một.
   • Tính log₅125: Đặt x = log₅125 ⇒ 5^x = 125 = 5³ ⇒ x = 3.
   • Tính log₂1: Đặt y = log₂1 ⇒ 2^y = 1 = 2⁰ ⇒ y = 0.
2. Bước 2: Thay vào biểu thức: A = 3 + 0 = 3.
3. Kết luận: Vậy A = 3.

Ghi nhớ

• Định nghĩa cốt lõi: log_ab = x ⇔ a^x = b (với a, b > 0 và a ≠ 1).
• Một số giá trị đặc biệt: log_a1 = 0 (vì a⁰ = 1), log_aa = 1 (vì a¹ = a).
• Lưu ý: Cơ số của logarit phải là số dương và khác 1. Biểu thức trong logarit (đối số) phải là số dương.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài tập sau đây để củng cố kiến thức nhé!

1. Tính: a) log₂32 ; b) log_0,54 ; c) log₁₀0,001.
2. Tìm x biết: a) log₂x = 5 ; b) log₃(x - 1) = 2.
3. So sánh: log₂3 và log₂5. (Gợi ý: dựa vào tính đồng biến của hàm số logarit khi cơ số lớn hơn 1).