Ví dụ: Ôn tập đại số

Ví dụ: Ôn tập đại số – Ôn thi tốt nghiệp THPT

Giới thiệu

Chào các em, trong giai đoạn ôn thi tốt nghiệp THPT, việc ôn tập lại các kiến thức đại số cốt lõi là vô cùng quan trọng. Bài học hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi qua một số ví dụ điển hình, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện tư duy giải toán và làm quen với các dạng bài thường gặp. Mỗi ví dụ sẽ được trình bày chi tiết từng bước để các em dễ dàng theo dõi và áp dụng.

Lý thuyết nhắc lại

Để giải tốt các bài toán đại số, các em cần nắm vững các kiến thức trọng tâm sau:

• Hàm số và đồ thị: Tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất.
• Lũy thừa, mũ và logarit: Các công thức biến đổi, phương trình và bất phương trình mũ – logarit.
• Nguyên hàm và tích phân: Công thức cơ bản, phương pháp tính (đổi biến, từng phần).
• Số phức: Các phép toán, môđun, giải phương trình trên tập số phức.

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Giải phương trình logarit

Đề bài: Giải phương trình: \(\log_3 (x+2) + \log_3 (x-4) = 2\)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit có nghĩa khi đối số dương. Do đó: \(x+2 > 0\) và \(x-4 > 0\) => \(x > -2\) và \(x > 4\). Vậy điều kiện chung là \(x > 4\).

Bước 2: Biến đổi phương trình

Áp dụng công thức logarit của tích: \(\log_a A + \log_a B = \log_a (A.B)\). Ta có:

\(\log_3 [(x+2)(x-4)] = 2\)

Bước 3: Khử logarit

Chuyển về dạng mũ: \(\log_3 A = 2 \Leftrightarrow A = 3^2 = 9\). Suy ra:

\((x+2)(x-4) = 9\)

Bước 4: Giải phương trình đại số

Ta có: \(x^2 - 4x + 2x - 8 = 9 \Rightarrow x^2 - 2x - 17 = 0\)

Tính delta: \(\Delta' = (-1)^2 - 1.(-17) = 18\).

Nghiệm: \(x_1 = 1 + 3\sqrt{2}\) và \(x_2 = 1 - 3\sqrt{2}\).

Bước 5: Đối chiếu điều kiện

Chỉ có \(x_1 = 1 + 3\sqrt{2} \approx 5,24 > 4\) (thỏa mãn). \(x_2 \approx -3,24\) (loại).

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1 + 3\sqrt{2}\).

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) trên đoạn \([0; 2]\).

Bước 1: Tính đạo hàm

\(f'(x) = 3x^2 - 3\)

Bước 2: Tìm điểm tới hạn

Giải phương trình \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = -1\).

Vì ta chỉ xét trên đoạn \([0; 2]\), nên nhận giá trị \(x = 1\).

Bước 3: Tính giá trị tại các điểm

• \(f(0) = 0^3 - 3.0 + 1 = 1\)
• \(f(1) = 1^3 - 3.1 + 1 = -1\)
• \(f(2) = 8 - 6 + 1 = 3\)

Bước 4: So sánh và kết luận

Giá trị lớn nhất là 3 tại \(x = 2\). Giá trị nhỏ nhất là -1 tại \(x = 1\).

Kết luận: \(\max_{[0;2]} f(x) = 3\), \(\min_{[0;2]} f(x) = -1\).

Ví dụ 3: Tính tích phân

Đề bài: Tính tích phân \(I = \int_{0}^{1} x.e^{x} \, dx\).

Bước 1: Nhận dạng phương pháp

Đây là tích phân của tích hai hàm số \(x\) (đa thức) và \(e^x\) (mũ). Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).

Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt \(u = x \Rightarrow du = dx\).
Đặt \(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\).

Bước 3: Áp dụng công thức

\(I = [x.e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \, dx\)

Tính từng phần:

\([x.e^x]_{0}^{1} = (1.e^1) - (0.e^0) = e - 0 = e\)

\(\int_{0}^{1} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1\)

Bước 4: Tính kết quả cuối cùng

\(I = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1\).

Kết luận: \(I = 1\).

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định khi làm việc với logarit, căn thức, phân thức.
• Nắm vững bảng công thức đạo hàm và nguyên hàm để giải nhanh và chính xác.
• Phương pháp từng phần thường dùng cho tích phân chứa tích của đa thức với mũ, lượng giác hoặc logarit.
• Đối với hàm số trên đoạn: chỉ xét các điểm tới hạn nằm trong đoạn và các đầu mút.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập thêm các bài sau đây để củng cố kiến thức:

1. Giải phương trình: \(\log_2 (x-1) + \log_2 (x+3) = 4\).
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) trên đoạn \([0; 3]\).
3. Tính tích phân: \(J = \int_{1}^{2} (2x + 1) \ln x \, dx\).
4. Giải bất phương trình: \(3^{x+1} - 2.3^x \le 9\).

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT!