Ví dụ: Ôn tập giải tích

Bài toán: Ôn tập giải tích (Ví dụ minh họa)

Giới thiệu

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, phần Giải tích chiếm một tỉ lệ điểm rất quan trọng. Các dạng bài thường gặp bao gồm: khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, tính tích phân, và giải phương trình mũ – logarit. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi qua một ví dụ tổng hợp, từng bước một, để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài thi.

Lý thuyết cần nhớ (Tóm tắt)

• Khảo sát hàm số bậc ba: Tìm tập xác định, tính đạo hàm y', tìm cực trị, tính giới hạn, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
• Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên đoạn [a;b]: Tính đạo hàm, tìm nghiệm trong khoảng (a;b), tính giá trị hàm tại các nghiệm và tại hai đầu mút, so sánh.
• Tính tích phân xác định: Sử dụng công thức Newton-Leibniz hoặc phương pháp đổi biến, từng phần.
• Giải phương trình mũ – logarit: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ minh họa từng bước

Đề bài: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2.

1. Bước 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
   • Tập xác định: D = ℝ.
   • Tính đạo hàm: y' = 3x² – 6x. Cho y' = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2.
   • Giới hạn: lim_x→−∞ y = −∞ ; lim_x→+∞ y = +∞.
   • Bảng biến thiên: Khoảng (−∞;0): y' > 0 → hàm đồng biến; (0;2): y' < 0 → hàm nghịch biến; (2;+∞): y' > 0 → hàm đồng biến. Điểm cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2; điểm cực tiểu tại x = 2, y_CT = −2.
   • Đồ thị: Cắt trục Oy tại (0;2), cắt trục Ox tại các điểm (1;0) và hai nghiệm khác (có thể tìm gần đúng). Vẽ đường cong đi qua các điểm đặc biệt.
2. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 3].
   • Hàm số liên tục trên [−1; 3].
   • Đạo hàm y' = 3x² – 6x, y' = 0 ⇒ x = 0 (thuộc đoạn) hoặc x = 2 (thuộc đoạn).
   • Tính: f(−1) = (−1)³ – 3·(−1)² + 2 = −1 – 3 + 2 = −2.
   • Tính: f(0) = 0 – 0 + 2 = 2.
   • Tính: f(2) = 8 – 12 + 2 = −2.
   • Tính: f(3) = 27 – 27 + 2 = 2.
   • Kết luận: Giá trị lớn nhất max = 2 (tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất min = −2 (tại x = −1 và x = 2).
3. Bước 3: Tính tích phân I = ∫₀² (x³ – 3x² + 2) dx.
   • Áp dụng công thức Newton-Leibniz: I = [ (x⁴/4) – (3x³/3) + 2x ] ₀² = [ x⁴/4 – x³ + 2x ] ₀².
   • Thay cận trên: (2⁴/4) – (2³) + 2·2 = (16/4) – 8 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0.
   • Thay cận dưới: 0 – 0 + 0 = 0.
   • Kết quả: I = 0 – 0 = 0.
4. Bước 4: Giải phương trình f(x) = 0.
   • Phương trình: x³ – 3x² + 2 = 0.
   • Nhẩm nghiệm: x = 1 là nghiệm (vì 1 – 3 + 2 = 0).
   • Chia đa thức: (x – 1)(x² – 2x – 2) = 0.
   • Giải phương trình bậc hai: x² – 2x – 2 = 0 ⇒ Δ' = 1 + 2 = 3 ⇒ x = 1 ± √3.
   • Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 1, x = 1 + √3, x = 1 – √3.

Ghi nhớ

• Khi khảo sát hàm số, luôn kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên một đoạn, không quên tính giá trị hàm tại các đầu mút.
• Tích phân của một hàm lẻ (nếu cận đối xứng) có thể bằng 0, nhưng cần tính cẩn thận.
• Khi giải phương trình bậc ba, hãy ưu tiên nhẩm nghiệm nguyên trước.

Bài tập gợi ý

Hãy tự luyện tập với đề bài sau (tương tự ví dụ trên):

1. Cho hàm số y = –x³ + 3x + 1.
   • a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
   • b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].
   • c) Tính tích phân ∫₋₁¹ (–x³ + 3x + 1) dx.
   • d) Giải phương trình –x³ + 3x + 1 = 0 (gợi ý: nhẩm nghiệm x = –1).

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!