Ví dụ: Phương trình lượng giác tổng hợp

Phương trình lượng giác tổng hợp - Ví dụ minh họa từng bước

Giới thiệu

Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách giải các phương trình lượng giác tổng hợp – những bài toán kết hợp nhiều công thức lượng giác khác nhau. Đây là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em rèn luyện tư duy linh hoạt và kỹ năng biến đổi. Chúng ta sẽ tập trung vào các ví dụ cụ thể, đi từng bước một để hiểu rõ phương pháp.

Lý thuyết cần nhớ

Để giải phương trình lượng giác tổng hợp, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là những kiến thức thường dùng:

• Công thức cộng:
  • sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
  • cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
• Công thức nhân đôi:
  • sin 2a = 2 sin a cos a
  • cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 = 1 - 2 sin² a
• Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích:
  • sin a + sin b = 2 sin((a+b)/2) cos((a-b)/2)
  • cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)

Lưu ý: Khi giải phương trình, chúng ta thường đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản: sin x = m, cos x = m, tan x = m, cot x = m.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình cos 2x + sin x = 0

Bước 1: Nhận thấy có cos 2x và sin x. Sử dụng công thức nhân đôi: cos 2x = 1 - 2 sin² x.

Phương trình trở thành: (1 - 2 sin² x) + sin x = 0

Bước 2: Đặt t = sin x (với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1). Phương trình thành:

1 - 2t² + t = 0 → -2t² + t + 1 = 0 → 2t² - t - 1 = 0

Bước 3: Giải phương trình bậc hai: 2t² - t - 1 = 0

Ta có: Δ = (-1)² - 4·2·(-1) = 1 + 8 = 9

t₁ = (1 + 3) / 4 = 1 (thỏa mãn)

t₂ = (1 - 3) / 4 = -1/2 (thỏa mãn)

Bước 4: Quay lại biến x:

Với t = 1: sin x = 1 → x = π/2 + k2π (k ∈ ℤ)

Với t = -1/2: sin x = -1/2 → x = -π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Phương trình có nghiệm: x = π/2 + k2π; x = -π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 2: Giải phương trình sin x + sin 3x = 0

Bước 1: Đây là tổng của hai sin. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

sin x + sin 3x = 2 sin((x + 3x)/2) cos((x - 3x)/2) = 2 sin(2x) cos(-x)

Vì cos(-x) = cos x nên phương trình thành: 2 sin 2x · cos x = 0

Bước 2: Tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0:

Trường hợp 1: sin 2x = 0 → 2x = kπ → x = kπ/2 (k ∈ ℤ)

Trường hợp 2: cos x = 0 → x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)

Bước 3: Kết hợp nghiệm: Ta thấy nghiệm của trường hợp 2 (x = π/2 + kπ) đã bao gồm trong nghiệm của trường hợp 1 (vì khi x = π/2 + kπ thì 2x = π + k2π, sin 2x = 0). Vậy tập nghiệm là:

x = kπ/2 (k ∈ ℤ)

Kết luận: Phương trình có nghiệm x = kπ/2 (k ∈ ℤ)

Ví dụ 3: Giải phương trình √3 sin x - cos x = 1

Bước 1: Đây là dạng a sin x + b cos x = c. Chia cả hai vế cho √(a² + b²) = √(3 + 1) = 2:

(√3/2) sin x - (1/2) cos x = 1/2

Bước 2: Đặt cos φ = √3/2, sin φ = 1/2 → φ = π/6 (vì cos π/6 = √3/2, sin π/6 = 1/2)

Chú ý: Công thức: sin x cos φ - cos x sin φ = sin(x - φ)

Vế trái thành: sin x·(√3/2) - cos x·(1/2) = sin(x - π/6)

Phương trình trở thành: sin(x - π/6) = 1/2

Bước 3: Giải phương trình cơ bản:

x - π/6 = π/6 + k2π hoặc x - π/6 = π - π/6 + k2π

→ x = π/3 + k2π hoặc x = π + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Phương trình có nghiệm: x = π/3 + k2π; x = π + k2π (k ∈ ℤ)

Ghi nhớ

• Luôn nhận diện dạng phương trình để chọn công thức biến đổi phù hợp.
• Sau khi biến đổi, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot).
• Kiểm tra điều kiện nếu cần (ví dụ: phương trình chứa tan, cot).
• Viết tập nghiệm đầy đủ với số nguyên k.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự giải các phương trình sau để rèn luyện thêm:

1. cos 2x + cos x = 0
2. sin x + √3 cos x = 2
3. sin 3x - sin x = 0
4. 2 sin² x - 3 sin x + 1 = 0

Gợi ý: Với bài 1 và 3, dùng công thức biến đổi tổng thành tích. Với bài 2, dùng phương pháp a sin x + b cos x. Với bài 4, đặt t = sin x.

Chúc các em học tốt!