Ví dụ: Tích phân xác định

Bài học: Ví dụ về Tích phân xác định

Giới thiệu

Trong bài học trước, chúng ta đã làm quen với khái niệm nguyên hàm. Hôm nay, thầy trò mình sẽ cùng nhau khám phá một khái niệm mới vô cùng quan trọng và thú vị: Tích phân xác định. Nếu nguyên hàm cho ta một họ các hàm số, thì tích phân xác định lại cho ta một con số cụ thể, biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Chúng ta sẽ đi vào chi tiết qua các ví dụ minh họa từng bước một.

Lý thuyết: Nhắc lại khái niệm tích phân xác định

Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] được kí hiệu là:

∫_a^b f(x) dx

Giá trị của tích phân này được tính thông qua nguyên hàm F(x) của f(x) theo công thức Newton – Leibniz:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Trong đó:

• a là cận dưới.
• b là cận trên.
• F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x).

Như vậy, để tính một tích phân xác định, ta thực hiện ba bước cơ bản:

1. Bước 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số dưới dấu tích phân f(x).
2. Bước 2: Tính giá trị của nguyên hàm tại cận trên F(b).
3. Bước 3: Tính giá trị của nguyên hàm tại cận dưới F(a) và lấy hiệu F(b) − F(a).

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tích phân của hàm đa thức

Tính tích phân sau: ∫₁³ (2x + 1) dx

Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1.

• Nguyên hàm của 2x là x².
• Nguyên hàm của 1 là x.
• Vậy F(x) = x² + x. (Chúng ta chọn hằng số C = 0 vì khi tính hiệu, hằng số sẽ bị triệt tiêu).

Bước 2: Tính F(3).

• F(3) = 3² + 3 = 9 + 3 = 12.

Bước 3: Tính F(1) và hiệu.

• F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2.
• Vậy ∫₁³ (2x + 1) dx = F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10.

Kết luận: Kết quả của tích phân là 10.

Ví dụ 2: Tích phân của hàm số mũ

Tính tích phân sau: ∫₀¹ e^x dx

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = e^x.

• Nguyên hàm của e^x là chính nó: F(x) = e^x.

Bước 2: Tính F(1).

• F(1) = e¹ = e.

Bước 3: Tính F(0) và hiệu.

• F(0) = e⁰ = 1.
• Vậy ∫₀¹ e^x dx = F(1) − F(0) = e − 1.

Kết luận: Kết quả của tích phân là e − 1.

Ví dụ 3: Tích phân của hàm phân thức

Tính tích phân sau: ∫₁² (1/x) dx

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/x.

• Với x > 0, nguyên hàm của 1/x là F(x) = ln|x|. Vì cận từ 1 đến 2 đều dương, ta có thể viết F(x) = ln(x).

Bước 2: Tính F(2).

• F(2) = ln(2).

Bước 3: Tính F(1) và hiệu.

• F(1) = ln(1) = 0.
• Vậy ∫₁² (1/x) dx = ln(2) − 0 = ln(2).

Kết luận: Kết quả của tích phân là ln(2).

Ví dụ 4: Tích phân của hàm lượng giác

Tính tích phân sau: ∫₀^π/2 cos(x) dx

Bước 1: Tìm nguyên hàm của f(x) = cos(x).

• Nguyên hàm của cos(x) là F(x) = sin(x).

Bước 2: Tính F(π/2).

• F(π/2) = sin(π/2) = 1.

Bước 3: Tính F(0) và hiệu.

• F(0) = sin(0) = 0.
• Vậy ∫₀^π/2 cos(x) dx = 1 − 0 = 1.

Kết luận: Kết quả của tích phân là 1.

Ghi nhớ

• Tích phân xác định ∫_a^b f(x) dx là một số thực, không phải một hàm số.
• Công thức Newton – Leibniz là công cụ chính để tính tích phân: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
• Khi tìm nguyên hàm F(x), ta không cần thêm hằng số C vì nó sẽ tự động bị triệt tiêu khi tính hiệu.
• Luôn kiểm tra điều kiện của hàm số (ví dụ: hàm phân thức, hàm logarit) trước khi áp dụng công thức.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài sau để nắm vững kiến thức nhé:

1. Tính tích phân: ∫₀² (3x² − 2x + 5) dx
2. Tính tích phân: ∫₁^e (1/x) dx (gợi ý: kết quả là một số tự nhiên).
3. Tính tích phân: ∫₀^π sin(x) dx
4. Tính tích phân: ∫₀¹ (e^x + 2) dx

Chúc các em học tốt và luôn nhớ rõ các bước thực hiện: tìm nguyên hàm, tính giá trị tại cận trên, trừ đi giá trị tại cận dưới!