Ví dụ: Hàm số logarit

Giới thiệu về hàm số logarit

Trong chương trình Toán 12, sau khi đã tìm hiểu về hàm số mũ, chúng ta sẽ tiếp cận một khái niệm quan trọng không kém: hàm số logarit. Hàm số logarit là công cụ toán học mạnh mẽ, giúp giải quyết nhiều bài toán trong thực tiễn như đo độ pH, đo cường độ âm thanh (decibel), hay tính lãi suất ngân hàng. Bài học hôm nay sẽ tập trung vào các ví dụ minh họa từng bước, giúp các em hiểu rõ bản chất của logarit và cách tính toán với nó.

1. Khái niệm logarit

Trước hết, chúng ta cùng ôn lại định nghĩa cốt lõi:

Cho hai số thực dương a và b với a ≠ 1. Số thực x thỏa mãn đẳng thức a^x = b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là log_ab.

Như vậy, theo định nghĩa:

log_ab = x ⇔ a^x = b

Lưu ý quan trọng:

• Cơ số a phải là số dương và khác 1.
• Đối số b phải là số dương.

2. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tính giá trị logarit cơ bản

Đề bài: Tính log₂8.

Giải từng bước:

1. Đặt log₂8 = x. Theo định nghĩa, ta có: 2^x = 8.
2. Biến đổi vế phải: 8 = 2³. Vậy phương trình trở thành: 2^x = 2³.
3. Vì hai vế có cùng cơ số (cơ số 2), ta suy ra số mũ bằng nhau: x = 3.
4. Kết luận: log₂8 = 3.

Kiểm tra: 2³ = 8, hoàn toàn chính xác.

Ví dụ 2: Tính logarit với cơ số là phân số

Đề bài: Tính log_½16.

Giải từng bước:

1. Đặt log_½16 = x. Theo định nghĩa: (½)^x = 16.
2. Viết lại cơ số dưới dạng lũy thừa: ½ = 2^-1. Vậy ta có: (2^-1)^x = 16.
3. Áp dụng quy tắc lũy thừa: 2^-x = 16.
4. Biến đổi 16 thành lũy thừa cơ số 2: 16 = 2⁴. Ta được: 2^-x = 2⁴.
5. Vì hai vế cùng cơ số 2, so sánh số mũ: -x = 4 ⇒ x = -4.
6. Kết luận: log_½16 = -4.

Kiểm tra: (½)^-4 = 2⁴ = 16, chính xác.

Ví dụ 3: Tính logarit từ phương trình mũ

Đề bài: Tìm x biết log₃(x - 1) = 2.

Giải từng bước:

1. Điều kiện xác định: Đối số của logarit phải dương, tức là x - 1 > 0 ⇔ x > 1.
2. Chuyển từ dạng logarit về dạng mũ: log₃(x - 1) = 2 ⇔ 3² = x - 1.
3. Tính 3² = 9, ta được phương trình: 9 = x - 1.
4. Giải phương trình: x = 9 + 1 = 10.
5. Kiểm tra điều kiện: x = 10 > 1, thỏa mãn.
6. Kết luận: Vậy x = 10.

Ví dụ 4: Tính logarit không nguyên

Đề bài: Tính log₅25√5.

Giải từng bước:

1. Biểu diễn đối số 25√5 dưới dạng lũy thừa cơ số 5:
   • 25 = 5²
   • √5 = 5^½
   • Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: 25√5 = 5² × 5^½ = 5^{2 + ½} = 5^5/2
2. Đặt log₅25√5 = x. Theo định nghĩa: 5^x = 5^5/2.
3. So sánh số mũ: x = 5/2.
4. Kết luận: log₅25√5 = 5/2.

3. Ghi nhớ

Để giải các bài toán về logarit, các em cần nắm vững:

• Định nghĩa cốt lõi: log_ab = x ⇔ a^x = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Các bước tính toán: Luôn chuyển logarit về dạng mũ, sau đó biến đổi hai vế về cùng cơ số để so sánh số mũ.
• Điều kiện: Luôn kiểm tra đối số của logarit phải dương, cơ số dương và khác 1.
• Lưu ý đặc biệt: log_a1 = 0 và log_aa = 1.

4. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập với những bài tập sau đây, áp dụng đúng các bước như trong phần ví dụ:

1. Tính log₄64.
2. Tính log_⅓27.
3. Tìm x, biết log₂(x + 3) = 5.
4. Tính log₇49√7.

Gợi ý: Ở bài 2, chú ý ⅓ = 3^-1. Ở bài 4, nhớ √7 = 7^½.

Các em hãy kiên nhẫn làm từng bước, viết rõ ràng ra giấy nháp. Nếu kết quả bài 1 bằng 3, bài 3 bằng 29, là các em đã làm đúng hướng rồi đấy!