Ví dụ: Phương trình lượng giác tổng hợp

Bài học: Phương trình lượng giác tổng hợp (Ví dụ minh họa)

Giới thiệu

Trong thực tế, nhiều bài toán lượng giác thường gặp không chỉ đơn thuần là một dạng phương trình cơ bản (sin x = a, cos x = a,...) mà là sự kết hợp của nhiều công thức khác nhau. Để giải quyết các bài toán này, các em cần vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng. Bài học hôm nay sẽ hướng dẫn các em từng bước giải một phương trình tổng hợp qua các ví dụ cụ thể, giúp các em làm quen với cách tư duy và xử lý.

Lý thuyết cần nhớ

Phương trình lượng giác tổng hợp thường yêu cầu các em thực hiện các bước:

• Bước 1: Nhận dạng và vận dụng công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản (ví dụ: sin f(x) = sin g(x), cos f(x) = cos g(x), hoặc tích các thừa số bằng 0).
• Bước 2: Giải các phương trình cơ bản thu được.
• Bước 3: Tổng hợp nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

Các công thức thường dùng bao gồm:

• Công thức cộng: sin(a ± b), cos(a ± b).
• Công thức nhân đôi: sin2x, cos2x.
• Công thức biến đổi tổng thành tích: sin a + sin b, cos a + cos b.
• Công thức biến đổi tích thành tổng: sin a cos b, cos a cos b.

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin2x + sinx = 0.

Giải thích: Đây là phương trình có chứa sin của 2x và sin của x. Ta nhận thấy có thể dùng công thức cộng để biến đổi sin2x = 2 sinx cosx. Sau đó, đưa về phương trình tích.

1. Bước 1: Biến đổi.
   Ta có: sin2x = 2 sinx cosx.
   Phương trình trở thành: 2 sinx cosx + sinx = 0.
2. Bước 2: Đặt thừa số chung.
   ⇔ sinx (2 cosx + 1) = 0.
3. Bước 3: Giải các phương trình cơ bản.
   Trường hợp 1: sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
   Trường hợp 2: 2 cosx + 1 = 0 ⇔ cosx = -1/2.
   ⇔ cosx = cos(2π/3) ⇔ x = ± 2π/3 + k2π (k ∈ ℤ).
4. Bước 4: Kết luận.
   Vậy nghiệm của phương trình là: x = kπ; x = 2π/3 + k2π; x = -2π/3 + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x + cosx = 0.

Giải thích: Ở đây, cos2x có thể biểu diễn qua cosx bằng công thức nhân đôi: cos2x = 2cos²x - 1. Như vậy ta đưa về phương trình bậc hai với cosx.

1. Bước 1: Biến đổi.
   Sử dụng công thức cos2x = 2cos²x - 1.
   Phương trình thành: 2cos²x - 1 + cosx = 0.
2. Bước 2: Đặt ẩn phụ (tùy chọn).
   Đặt t = cosx, điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.
   Ta có: 2t² + t - 1 = 0.
3. Bước 3: Giải phương trình bậc hai.
   Giải ra ta được: t = 1/2 hoặc t = -1 (đều thỏa mãn điều kiện).
4. Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.
   Với t = 1/2: cosx = 1/2 = cos(π/3) ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ ℤ).
   Với t = -1: cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).
5. Bước 5: Kết luận.
   Vậy nghiệm là: x = ± π/3 + k2π; x = π + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 3: Giải phương trình: sinx + cosx = √2.

Giải thích: Đây là dạng tổng sinx và cosx. Ta có thể dùng công thức biến đổi hoặc đưa về dạng sin của tổng.

1. Bước 1: Biến đổi bằng công thức cộng.
   Ta biết: sinx + cosx = √2 sin(x + π/4) (vì sin(x+π/4) = sinx cosπ/4 + cosx sinπ/4 = (sinx+cosx)/√2).
   Phương trình trở thành: √2 sin(x + π/4) = √2.
2. Bước 2: Đơn giản hóa.
   ⇔ sin(x + π/4) = 1.
3. Bước 3: Giải phương trình cơ bản.
   sin(x + π/4) = 1 = sin(π/2).
   ⇔ x + π/4 = π/2 + k2π (k ∈ ℤ).
   ⇔ x = π/4 + k2π (k ∈ ℤ).
4. Bước 4: Kết luận.
   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất họ: x = π/4 + k2π (k ∈ ℤ).

Ghi nhớ

• Khi gặp phương trình tổng hợp, hãy ưu tiên biến đổi để đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm lượng giác.
• Các công thức thường dùng: công thức cộng, nhân đôi, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
• Sau khi giải, luôn kiểm tra điều kiện nếu phương trình có chứa mẫu số hoặc tang, côtang.
• Đừng quên công thức nghiệm tổng quát: x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π (với sin), x = ± α + k2π (với cos).

Bài tập gợi ý

Hãy tự luyện tập với các phương trình sau:

1. Giải phương trình: cos2x = 3 sinx + 1. (Gợi ý: biến đổi cos2x về sinx).
2. Giải phương trình: sin3x - sinx = 0. (Gợi ý: dùng công thức biến đổi tổng thành tích).
3. Giải phương trình: sinx cosx = 1/4. (Gợi ý: dùng công thức nhân đôi cho sin2x).
4. Giải phương trình: √3 sinx - cosx = √2.

Hãy cố gắng thực hiện từng bước như các ví dụ trên nhé!