Ví dụ: Ôn tập hình học

Giới thiệu bài học

Trong chương cuối năm, các em sẽ tổng hợp lại toàn bộ kiến thức hình học đã học. Bài hôm nay chúng ta cùng nhau ôn tập hình học thông qua một ví dụ cụ thể, từng bước từ nhận biết giả thiết, vẽ hình cho đến tính toán và chứng minh.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi vào ví dụ, các em ôn lại một số kiến thức cơ bản:

• Đường thẳng song song: Hai đường thẳng a và b song song (a // b) nếu chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, hoặc có các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau.
• Tổng ba góc trong tam giác: Trong tam giác ABC, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• Đường trung tuyến: Đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm, cách mỗi đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Đường trung trực: Đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Mọi điểm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút.

Ví dụ minh họa từng bước

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AC tại D. Gọi E là trung điểm của BD.

1. Bước 1: Vẽ hình và ghi giả thiết – kết luận

   Vẽ tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy M sao cho BM = BA. Từ M dựng đường vuông góc với BC, cắt AC tại D. Lấy E là trung điểm BD.

   • Giả thiết: ΔABC, ∠A = 90°, AB < AC, M ∈ BC, BM = BA, MD ⟂ BC, D ∈ AC, E là trung điểm BD.
   • Kết luận: a) Chứng minh AD = MD; b) Chứng minh BE = DE và BA = DM.
2. Bước 2: Chứng minh AD = MD

   Xét ΔABD và ΔMBD có:

   • AB = BM (theo giả thiết)
   • BD là cạnh chung
   • ∠ABD = ∠MBD? Không, ta không có góc này. Thay vào đó, ta nhận thấy MD ⟂ BC nên ∠BMD = 90°. Mà ∠BAD = 90° (vì ΔABC vuông tại A). Vậy ∠BAD = ∠BMD = 90°.
   • Hai tam giác vuông ABD và MBD có:
     • AB = BM (gt)
     • BD chung
     • ∠BAD = ∠BMD = 90°
     Vậy ΔABD = ΔMBD (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra AD = MD (hai cạnh tương ứng).
3. Bước 3: Chứng minh BE = DE và BA = DM

   Vì E là trung điểm của BD nên BE = DE (tính chất trung điểm).

   Ở bước 2, ta đã chứng minh ΔABD = ΔMBD, do đó:

   • BA = BM (hai cạnh tương ứng) — nhưng đầu bài đã cho BA = BM, nên điều này khẳng định lại.
   • AD = MD (đã chứng minh).

   Vậy BA = BM và AD = MD. Ngoài ra, do E là trung điểm BD, ta có BE = DE. Như vậy hoàn thành yêu cầu.

Ghi nhớ

Qua bài tập này, các em cần nắm vững:

• Cách sử dụng cạnh huyền – cạnh góc vuông để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.
• Khi có đường vuông góc, ta thường có góc vuông để áp dụng các trường hợp bằng nhau.
• Trung điểm giúp khẳng định các đoạn thẳng bằng nhau.
• Luôn vẽ hình chính xác và ghi giả thiết – kết luận trước khi giải.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập thêm với bài toán sau:

Bài tập: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt AB tại H, và vuông góc với AC cắt AC tại K.

1. Chứng minh ΔABM = ΔACM.
2. Chứng minh MH = MK.
3. Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn HK.

Hướng dẫn: Hãy vẽ hình, ghi giả thiết – kết luận, rồi lần lượt thực hiện từng bước chứng minh dựa vào tính chất tam giác cân và các trường hợp bằng nhau của tam giác.