Ví dụ: Ôn tập hình học

Ôn tập cuối năm: Ví dụ Ôn tập Hình học (Lớp 8)

Giới thiệu

Trong chương trình Hình học lớp 8, các em đã được học nhiều kiến thức quan trọng như: tứ giác, định lý Thalès, tam giác đồng dạng, hình lăng trụ đứng, hình chóp đều. Bài ôn tập hôm nay sẽ giúp chúng ta vận dụng linh hoạt các kiến thức đó thông qua một ví dụ minh họa từng bước. Qua đó, các em sẽ thấy rõ mối liên hệ giữa các phần kiến thức và rèn kỹ năng phân tích, lập luận hình học.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi đi vào ví dụ, chúng ta hãy cùng điểm qua một số lý thuyết trọng tâm:

• Tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°. Các loại tứ giác đặc biệt: hình thang, hình bình hành (có tính chất: các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
• Định lý Thalès: Trong tam giác, nếu một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Hệ quả: Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
• Tam giác đồng dạng: Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Các trường hợp đồng dạng: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); cạnh – góc – cạnh (c.g.c); góc – góc (g.g). Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ minh họa từng bước

Đề bài: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 6 cm, CD = 10 cm, đường chéo AC = 8 cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ đường thẳng qua O song song với AB, cắt AD tại M và BC tại N.

1. Bước 1: Phân tích và vẽ hình

   Vẽ hình thang ABCD với hai đáy AB (ngắn hơn) và CD (dài hơn) song song. Vẽ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ O, dựng đường thẳng song song với AB (và cũng song song với CD) cắt cạnh bên AD tại M và cạnh bên BC tại N.

2. Bước 2: Tính độ dài đoạn OA và OC khi biết tỉ số AB và CD

   Vì AB // CD nên theo hệ quả của định lý Thalès trong tam giác ACD, xét đường thẳng BO (nằm trong mặt phẳng):

   Thực tế, xét tam giác ACD và đường thẳng O. Do AB // CD nên góc OAB = góc OCD (so le trong), góc OBA = góc ODC (so le trong). Suy ra tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD (theo trường hợp góc – góc).

   Do đó, tỉ số đồng dạng: OA / OC = OB / OD = AB / CD = 6 / 10 = 3/5.

   Biết AC = OA + OC = 8 cm. Ta có: OA = (3/5) * OC. Thay vào: (3/5)OC + OC = 8 → (8/5)OC = 8 → OC = 5 cm. Vậy OA = 8 – 5 = 3 cm.

   Kết luận: OA = 3 cm, OC = 5 cm.

3. Bước 3: Chứng minh và tính độ dài MN

   Vì M nằm trên AD, N nằm trên BC và MN // AB // CD.

   Xét tam giác ADC: MO // CD (vì MN // CD). Theo định lý Thalès, ta có: AM / MD = AO / OC = 3/5.

   Xét tam giác BDC: NO // CD (vì MN // CD). Theo định lý Thalès, ta có: BN / NC = BO / OD. Mà từ tam giác đồng dạng ở trên, ta có BO / OD = AB / CD = 3/5. Vậy BN / NC = 3/5.

   Như vậy, ta thấy M và N chia các cạnh bên AD và BC theo cùng tỉ lệ 3/5.

   Để tính MN, ta xét hình thang ABCD. Kẻ đường chéo AC. Trong tam giác ADC, có MO // CD, suy ra MO / CD = AO / AC = 3/8. Vậy MO = (3/8) * 10 = 3.75 cm.

   Trong tam giác ABC (chú ý thứ tự đỉnh), có ON // AB (vì MN // AB). Xét tam giác ABC: Vì O thuộc AC và N thuộc BC, ON // AB. Ta có: ON / AB = OC / AC = 5/8. Vậy ON = (5/8) * 6 = 3.75 cm.

   Suy ra: MN = MO + ON = 3.75 + 3.75 = 7.5 cm.

   Kết luận: MN = 7.5 cm.

4. Bước 4: Tính tỉ số diện tích tam giác AOB và tam giác COD

   Ở bước 2, ta đã chứng minh tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD theo tỉ số đồng dạng k = AB / CD = 6 / 10 = 3/5.

   Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

   Diện tích tam giác AOB / Diện tích tam giác COD = k² = (3/5)² = 9/25.

   Kết luận: Tỉ số diện tích là 9/25.

Ghi nhớ

• Khi gặp bài toán hình thang có đường thẳng song song với hai đáy, hãy nghĩ ngay đến định lý Thalès trong các tam giác được tạo bởi đường chéo và cạnh bên.
• Trong hình thang, hai tam giác được tạo bởi hai đường chéo và hai đáy (ví dụ: tam giác OAB và OCD) luôn là hai tam giác đồng dạng.
• Nhớ công thức quan trọng: Độ dài đoạn thẳng song song với hai đáy (MN) bằng trung bình cộng của hai đáy chỉ đúng khi đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên. Trong trường hợp tổng quát (như ví dụ trên), ta phải tính từng đoạn thành phần.

Bài tập gợi ý

1. Bài tập 1: Cho hình thang MNPQ (MN // PQ), có MN = 4 cm, PQ = 12 cm. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại I. Tính tỉ số MI/IP và NI/IQ.
2. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, trên AC lấy điểm E sao cho AE = 4 cm. Chứng minh DE // BC và tính tỉ số diện tích tam giác ADE và tam giác ABC.
3. Bài tập 3: Một hình thang cân có hai đáy dài 8 cm và 14 cm, chiều cao 6 cm. Tính diện tích hình thang và độ dài cạnh bên.