Ví dụ: Ôn tập đại số

Ôn tập cuối năm: Ôn tập Đại số (Ví dụ minh họa)

1. Giới thiệu

Các em học sinh thân mến! Trong chương trình Toán lớp 9, phần Đại số chiếm một vị trí rất quan trọng với nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi cuối năm, chúng ta cần ôn tập lại những kiến thức cốt lõi. Bài học hôm nay sẽ tập trung vào việc giải các bài toán đại số điển hình qua những ví dụ minh họa từng bước, giúp các em nắm chắc phương pháp giải và tự tin hơn khi làm bài.

2. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

Trước khi đi vào ví dụ, chúng ta cùng điểm lại một số kiến thức nền tảng của phần Đại số lớp 9:

• Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0): Tính đồng biến, nghịch biến; cách vẽ đồ thị; tìm giao điểm của hai đường thẳng.
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
• Hàm số y = ax² (a ≠ 0): Tính chất, đồ thị là đường parabol.
• Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0): Công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn; hệ thức Vi-ét và các ứng dụng (tìm hai số biết tổng và tích, tính giá trị biểu thức, lập phương trình bậc hai...).

3. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình và bài toán thực tế

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 50 mét. Nếu tăng chiều dài thêm 3 mét và giảm chiều rộng đi 2 mét thì diện tích giảm đi 10 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.

Bài giải từng bước:

1. Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện.

   Gọi chiều dài ban đầu là \( x \) (mét), chiều rộng ban đầu là \( y \) (mét).
   Điều kiện: \( x > y > 0 \).

2. Bước 2: Lập hệ phương trình.

   Chu vi mảnh vườn là 50 mét nên: \( 2(x + y) = 50 \) hay \( x + y = 25 \). (1)

   Diện tích ban đầu: \( xy \) (m²).

   Chiều dài mới: \( x + 3 \) (m), chiều rộng mới: \( y - 2 \) (m).

   Diện tích mới: \( (x + 3)(y - 2) \).

   Theo đề bài, diện tích giảm 10 m², tức là:

   \( (x + 3)(y - 2) = xy - 10 \)

   ⇔ \( xy - 2x + 3y - 6 = xy - 10 \)

   ⇔ \( -2x + 3y = -4 \) (2)

3. Bước 3: Giải hệ phương trình.

   Ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 25 \\ -2x + 3y = -4 \end{cases}\)

   Nhân phương trình (1) với 2: \( 2x + 2y = 50 \).

   Cộng phương trình này với phương trình (2):

   \( (2x + 2y) + (-2x + 3y) = 50 + (-4) \)

   ⇒ \( 5y = 46 \) ⇒ \( y = 9.2 \) (thỏa mãn điều kiện).

   Thay \( y = 9.2 \) vào (1): \( x + 9.2 = 25 \) ⇒ \( x = 15.8 \) (thỏa mãn điều kiện).

4. Bước 4: Kết luận.

   Vậy chiều dài ban đầu của mảnh vườn là 15.8 mét, chiều rộng ban đầu là 9.2 mét.

Ví dụ 2: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Đề bài: Cho phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \) (với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + 2x_2 = x_1 + x_2 \).

Bài giải từng bước:

1. Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

   Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1, b = -2, c = m - 3 \).

   Ta có Δ' = \( (-1)^2 - 1 \cdot (m - 3) = 1 - m + 3 = 4 - m \).

   Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ' > 0 ⇔ \( 4 - m > 0 \) ⇔ \( m < 4 \).

2. Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét.

   Với \( m < 4 \), theo Vi-ét ta có:

   • Tổng hai nghiệm: \( S = x_1 + x_2 = 2 \). (1)
   • Tích hai nghiệm: \( P = x_1 \cdot x_2 = m - 3 \). (2)
3. Bước 3: Biến đổi điều kiện bài toán.

   Điều kiện: \( x_1^2 + 2x_2 = x_1 + x_2 \).
   Thay (1) vào biểu thức: \( x_1^2 + 2x_2 = 2 \).

   Vì \( x_1 \) là nghiệm nên: \( x_1^2 - 2x_1 + m - 3 = 0 \) ⇒ \( x_1^2 = 2x_1 - m + 3 \).

   Thay vào biểu thức trên: \( (2x_1 - m + 3) + 2x_2 = 2 \)

   ⇔ \( 2(x_1 + x_2) - m + 3 = 2 \)

   ⇔ \( 2 \cdot 2 - m + 3 = 2 \) (vì \( x_1 + x_2 = 2 \))

   ⇔ \( 4 - m + 3 = 2 \) ⇔ \( 7 - m = 2 \) ⇔ \( m = 5 \).

4. Bước 4: Kết luận.

   Ta có \( m = 5 \) không thỏa mãn điều kiện \( m < 4 \).

   Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

4. Ghi nhớ

• Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, các em cần đọc kỹ đề, xác định đúng mối quan hệ để lập phương trình chính xác. Đừng quên đặt điều kiện thích hợp cho ẩn và kiểm tra điều kiện khi có kết quả.
• Đối với phương trình bậc hai, luôn kiểm tra điều kiện có nghiệm trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét. Việc biến đổi khéo léo điều kiện bài toán kết hợp với Vi-ét là chìa khóa để giải các bài toán dạng này.
• Luôn kiểm tra lại kết quả xem có phù hợp với điều kiện ban đầu hay không.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức nhé!

1. Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}\) và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn chúng trên cùng mặt phẳng tọa độ.
2. Bài tập 2: Cho phương trình \( x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 2 = 0 \). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \).
3. Bài tập 3: Một xe khách và một xe tải cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 180 km. Xe khách chạy nhanh hơn xe tải 10 km/h nên đến B sớm hơn xe tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao!