Ví dụ: Ôn tập hình học

Ôn tập cuối năm: Ôn tập hình học

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 9, các em đã được học rất nhiều kiến thức hình học quan trọng như hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, góc với đường tròn, hình trụ, hình nón, hình cầu. Bài ôn tập hôm nay sẽ giúp các em hệ thống lại những kiến thức đó thông qua một ví dụ minh họa cụ thể, từng bước một. Các em hãy cùng theo dõi và thực hành nhé!

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi đi vào ví dụ, chúng ta cùng điểm lại một số công thức và định lý quan trọng:

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
  • Định lý Py-ta-go: b² + c² = a² (với a là cạnh huyền).
  • Công thức tính đường cao: h² = b' . c'.
  • Tỉ số lượng giác: sin = đối/huyền, cos = kề/huyền, tan = đối/kề.
• Đường tròn và góc:
  • Góc nội tiếp: bằng nửa số đo cung bị chắn.
  • Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: bằng nửa số đo cung bị chắn.
  • Tiếp tuyến của đường tròn: vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
• Hình học không gian:
  • Diện tích xung quanh hình trụ: S_xq = 2πrh.
  • Thể tích hình trụ: V = πr²h.
  • Diện tích xung quanh hình nón: S_xq = πrl.
  • Thể tích hình nón: V = (1/3)πr²h.

Ví dụ minh họa từng bước

Đề bài: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 5 cm. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Biết OA = 13 cm.

1. Chứng minh tam giác ABC cân.
2. Tính độ dài các cạnh AB, AC và BC.
3. Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác vuông OBA quanh trục OA.

Bước 1: Phân tích đề bài và vẽ hình

Đầu tiên, các em hãy vẽ một đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Lấy điểm A ngoài đường tròn sao cho OA = 13 cm. Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC. Nối O với B, O với C. Đánh dấu các điểm.

Bước 2: Chứng minh tam giác ABC cân

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AB = AC (đoạn thẳng từ A đến các tiếp điểm bằng nhau).

Vậy tam giác ABC có hai cạnh AB và AC bằng nhau nên tam giác ABC cân tại A.

Bước 3: Tính độ dài AB và AC

Vì AB là tiếp tuyến nên OB vuông góc với AB (tại B). Do đó, tam giác OBA vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông OBA:

• OB = R = 5 cm (một cạnh góc vuông).
• OA = 13 cm (cạnh huyền).
• AB² = OA² – OB² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144.
• Vậy AB = √144 = 12 cm.

Vì AB = AC nên AC = 12 cm.

Bước 4: Tính độ dài BC

Gọi H là giao điểm của OA và BC. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OA là đường trung trực của BC. Do đó: BH = HC và OA vuông góc với BC tại H.

Trong tam giác vuông OBA, đường cao BH (vì BH vuông góc OA). Áp dụng hệ thức lượng:

• OB² = OH . OA ⇒ OH = OB² / OA = 5² / 13 = 25/13 cm.
• BH² = OB² – OH² = 25 – (25/13)² = 25 – 625/169 = (4225 – 625)/169 = 3600/169.
• BH = √(3600/169) = 60/13 cm.

Vì H là trung điểm BC nên BC = 2 . BH = 2. (60/13) = 120/13 cm.

Bước 5: Tính diện tích xung quanh hình nón

Khi quay tam giác vuông OBA quanh trục OA, ta được hình nón có:

• Đường sinh: l = AB = 12 cm.
• Bán kính đáy: r = OB = 5 cm.

Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón:

S_xq = π . r . l = π . 5 . 12 = 60π (cm²).

Nếu em tính số xấp xỉ với π ≈ 3,14 thì S_xq ≈ 60 . 3,14 = 188,4 cm².

Ghi nhớ

• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
• Hai tiếp tuyến cắt nhau tạo ra các đoạn thẳng từ điểm cắt đến các tiếp điểm bằng nhau.
• Trong tam giác vuông, em có thể áp dụng Py-ta-go và hệ thức lượng để tính các cạnh và đường cao.
• Khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông, ta được hình nón với bán kính đáy là cạnh góc vuông còn lại.

Bài tập gợi ý

Các em hãy thử sức với bài tập sau để ôn tập thêm nhé:

1. Cho đường tròn (O; 6 cm). Từ điểm M cách O một khoảng 10 cm, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm). Tính độ dài MA, MB và AB.
2. Một hình nón có đường sinh 15 cm và bán kính đáy 9 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
3. Chứng minh rằng góc tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau thì bằng 180° trừ đi số đo cung nhỏ AB.

Chúc các em học tốt và ôn tập thật vững kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới!