Hàm số logarit

Bài 3: Hàm số Logarit

Giới thiệu bài học

Các em thân mến, trong chương trước chúng ta đã làm quen với hàm số mũ và những ứng dụng thú vị của nó. Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau khám phá người anh em song sinh của nó: hàm số logarit. Nếu như hàm số mũ giúp ta tìm giá trị của một đại lượng khi biết số mũ, thì hàm số logarit sẽ giúp ta giải quyết bài toán ngược lại: tìm số mũ khi biết giá trị của lũy thừa. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc tìm hiểu khái niệm logarit – nền tảng cốt lõi của toàn bộ bài học.

Nội dung bài học

1. Khái niệm Logarit

Trước hết, hãy nhớ lại định nghĩa hàm số mũ đã học. Bây giờ, nếu ta có phương trình mũ cơ bản:

Cho hai số dương a và b với a ≠ 1. Ta cần tìm một số thực x sao cho:

a^x = b

Số thực x đó được gọi là logarit cơ số a của b, và được ký hiệu là:

x = log_ab

Định nghĩa chính thức:

Cho hai số dương a và b với a ≠ 1. Số thực α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b, ký hiệu là log_ab.

Như vậy, ta có mối quan hệ then chốt:

a^log_ab = b

Ví dụ 1: Tính log₂8.

• Ta tìm số x sao cho 2^x = 8.
• Rõ ràng, 2³ = 8.
• Vậy log₂8 = 3.

Ví dụ 2: Tính log₃ (1/9).

• Ta tìm số y sao cho 3^y = 1/9.
• Vì 1/9 = 3^-2, nên y = -2.
• Vậy log₃ (1/9) = -2.

Ví dụ 3: Tính log₅1.

• Vì 5⁰ = 1, nên log₅1 = 0.

Ví dụ 4: Tính log_0,54.

• Ta cần tìm z sao cho (0,5)^z = 4.
• Viết 0,5 = 2^-1 và 4 = 2². Ta có (2^-1)^z = 2^-z = 2².
• Suy ra -z = 2 ⇔ z = -2.
• Vậy log_0,54 = -2.

2. Tính chất cơ bản của Logarit

Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất quan trọng sau:

1. log_a1 = 0 (vì a⁰ = 1)
2. log_aa = 1 (vì a¹ = a)
3. a^log_ab = b (với b > 0) – Đây là tính chất khử logarit.
4. log_a(a^c) = c – Đây là tính chất khử lũy thừa.

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất, hãy tính:

• log₇7 = 1
• log₂1 = 0
• 2^log₂5 = 5
• log₃ (3⁴) = 4

3. Các loại logarit đặc biệt

Trong thực tế, ta thường gặp hai loại logarit sau:

• Logarit thập phân (cơ số 10): Ký hiệu là log b hoặc lg b. Nghĩa là: log₁₀b = log b.
• Logarit tự nhiên (cơ số e ≈ 2,71828): Ký hiệu là ln b. Nghĩa là: log_eb = ln b.

Ví dụ 6:

• log 100 = log₁₀100 = 2 (vì 10² = 100).
• ln (e³) = log_e (e³) = 3 (theo tính chất).

Ghi nhớ

Để học tốt bài này, các em cần nhớ thật kỹ những ý chính sau:

• Định nghĩa: log_ab là số x sao cho a^x = b, với a, b > 0 và a ≠ 1.
• Mối quan hệ cơ bản: a^log_ab = b và log_a(a^c) = c.
• Logarit của 1 và của a: log_a1 = 0; log_aa = 1.
• Hai loại logarit phổ biến: Logarit thập phân (log b) và logarit tự nhiên (ln b).

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập với các bài tập dưới đây nhé:

1. Tính giá trị các biểu thức sau:
   • log₄16
   • log₃81
   • log₂ (1/32)
   • log₅√5
2. Tìm x biết:
   • log₂x = 5
   • log_x32 = 5
3. So sánh các cặp số sau (không dùng máy tính):
   • log₃2 và log₃5
   • log_0,53 và log_0,57