Bài tập: Hàm số logarit

Bài tập: Hàm số Logarit

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 10, chúng ta đã được làm quen với khái niệm logarit và hàm số logarit. Bài tập hôm nay sẽ giúp các em củng cố kiến thức về logarit, đặc biệt là kỹ năng tính toán và vận dụng các tính chất của logarit vào giải quyết các bài toán cụ thể. Các em sẽ được thực hành từ những bài tập cơ bản đến nâng cao, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ về Logarit

Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là log_ab = α.

Các tính chất quan trọng:

• log_a1 = 0
• log_aa = 1
• log_a(b.c) = log_ab + log_ac (với b, c > 0)
• log_a(b/c) = log_ab - log_ac (với b, c > 0)
• log_ab^α = α.log_ab (với b > 0)
• Công thức đổi cơ số: log_ab = (log_cb) / (log_ca)
• Đặc biệt: log_ab = 1 / (log_ba)

Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: A = log₂8 + log₃(1/9)

Hướng dẫn giải:

• Ta có: 8 = 2³, suy ra log₂8 = 3
• Ta có: 1/9 = 3^-2, suy ra log₃(1/9) = -2
• Vậy A = 3 + (-2) = 1

Ví dụ 2: Tính giá trị: B = log₄8

Hướng dẫn giải:

• Áp dụng công thức đổi cơ số: log₄8 = (log₂8) / (log₂4)
• Ta có: log₂8 = 3, log₂4 = 2
• Vậy B = 3/2

Ví dụ 3: Cho log₂3 = a. Tính log₆24 theo a.

Hướng dẫn giải:

• Ta viết 24 = 3.8 = 3.2³
• Áp dụng công thức đổi cơ số về cơ số 2: log₆24 = (log₂24) / (log₂6)
• Tính tử số: log₂24 = log₂(3.2³) = log₂3 + 3.log₂2 = a + 3
• Tính mẫu số: log₂6 = log₂(2.3) = log₂2 + log₂3 = 1 + a
• Vậy log₆24 = (a + 3) / (a + 1)

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: C = log₃27 - log₃9 + log₃1

Hướng dẫn giải:

• Ta có: log₃27 = log₃3³ = 3
• log₃9 = log₃3² = 2
• log₃1 = 0
• Vậy C = 3 - 2 + 0 = 1

Ví dụ 5: So sánh: log₂5 và log₄25

Hướng dẫn giải:

• Ta đưa về cùng cơ số: log₄25 = (log₂25) / (log₂4) = (2.log₂5) / 2 = log₂5
• Vậy log₂5 = log₄25

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện của biểu thức logarit: cơ số a > 0, a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarit phải dương.
• Nắm vững các tính chất cơ bản để biến đổi linh hoạt.
• Sử dụng công thức đổi cơ số khi cần đưa về cùng một cơ số để tính toán hoặc so sánh.
• Khi gặp bài toán chứa tham số, hãy sử dụng các phép biến đổi để biểu diễn logarit theo tham số đã cho.

Bài tập gợi ý tự luyện

1. Tính: A = log₅125 + log₂(1/4) - log₃9
2. Tính: B = log₂√8 + log₉3
3. Cho log₂5 = m. Hãy tính log₁₀20 theo m.
4. So sánh: log₃5 và log₅3
5. Rút gọn: D = log_a(a³√a) với a > 0, a ≠ 1
6. Tính: E = (log₃2).(log₂9)

Hướng dẫn tóm tắt bài 1: log₅125 = 3, log₂(1/4) = -2, log₃9 = 2, vậy A = 3 + (-2) - 2 = -1.

Hướng dẫn tóm tắt bài 6: Áp dụng công thức đổi cơ số: (log₃2).(log₂9) = (log₃2).(log₃9 / log₃2) = log₃9 = 2.