Hàm số mũ

Bài 1: Hàm số mũ (Lý thuyết)

1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 10, chúng ta đã làm quen với khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ. Từ đó, ta sẽ mở rộng ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực, làm nền tảng cho việc nghiên cứu hàm số mũ. Hàm số mũ xuất hiện nhiều trong thực tế, như sự tăng trưởng dân số, lãi suất ngân hàng, hay sự phân rã phóng xạ. Bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ khái niệm lũy thừa với số mũ thực và các tính chất cơ bản của nó.

2. Lý thuyết về lũy thừa

2.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

• Với số mũ nguyên dương: Cho a là số thực, n là số nguyên dương, ta có:
  aⁿ = a.a...a (n thừa số a). Ví dụ: 2³ = 2.2.2 = 8.
• Với số mũ nguyên âm: Cho a là số thực khác 0, n là số nguyên dương, ta có:
  a^-n = 1 / aⁿ. Ví dụ: 2^-3 = 1/2³ = 1/8.
• Với số mũ 0: Cho a là số thực khác 0, ta có: a⁰ = 1. Ví dụ: 5⁰ = 1, (-3)⁰ = 1.

2.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

• Cho a là số thực dương, m là số nguyên, n là số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ hữu tỉ m/n được định nghĩa:
  a^m/n = (a^1/n)^m = ⁿ√(a^m) Trong đó ⁿ√(a^m) là căn bậc n của a^m.
• Đặc biệt: a^1/n = ⁿ√a (căn bậc n của a). Ví dụ: 8^2/3 = (8^1/3)² = (³√8)² = 2² = 4.

2.3. Lũy thừa với số mũ thực

• Để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực α bất kỳ, ta dùng khái niệm giới hạn. Nếu a là số thực dương và α là số vô tỉ, ta xét dãy số hữu tỉ r_n dần tới α, thì a^α = lim a^r_n khi n tiến đến vô cùng.
• Trong phạm vi lớp 10, ta thừa nhận tồn tại lũy thừa a^α với a > 0 và α là số thực bất kỳ.

2.4. Các tính chất của lũy thừa

Với a, b là các số thực dương và m, n là các số thực, ta có:

• a^m.aⁿ = a^m+n
• a^m / aⁿ = a^m-n
• (a^m)ⁿ = a^m.n
• (a.b)^m = a^m.b^m
• (a/b)^m = a^m / b^m

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: P = (a³.a^-2) / a^1/2 với a > 0.

• Bước 1: Tính tử số: a³.a^-2 = a^{3 + (-2)} = a¹.
• Bước 2: Chia cho mẫu số: P = a¹ / a^1/2 = a^{1 - 1/2} = a^1/2.
• Kết quả: P = a^1/2 = √a.

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức Q = 4^1/2 + 27^2/3 - 9^1,5.

• Bước 1: Tính từng hạng tử:
  4^1/2 = √4 = 2
  27^2/3 = (27^1/3)² = (3) ² = 9
  9^1,5 = 9^3/2 = (9^1/2)³ = (3) ³ = 27
• Bước 2: Thay vào: Q = 2 + 9 - 27 = -16.

4. Ghi nhớ

• Lũy thừa với số mũ thực chỉ xác định khi cơ số a > 0 (trừ trường hợp số mũ nguyên).
• Các tính chất của lũy thừa giúp biến đổi và rút gọn biểu thức dễ dàng.
• Nhớ công thức: a^m/n = ⁿ√(a^m) với a > 0.

5. Bài tập gợi ý

1. Rút gọn biểu thức: A = (x^1/3.x²) / x^3/2 với x > 0.
2. So sánh: 2^1/2 và 3^1/3 (gợi ý: đưa về cùng số mũ).
3. Tính: B = 16^3/4 + 8^2/3 - 25^0,5.
4. Chứng minh: √(a²) = |a| với mọi số thực a. So sánh với (a^2/2) (chú ý điều kiện).