Ôn tập đại số

Giới thiệu bài học

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, phần Đại số chiếm một tỉ lệ điểm rất quan trọng. Bài học hôm nay sẽ giúp các em hệ thống lại những kiến thức cốt lõi nhất, từ hàm số, phương trình, bất phương trình cho đến các khái niệm về mũ và logarit. Nắm vững lý thuyết là bước đầu tiên để giải quyết mọi bài toán một cách tự tin và chính xác. Chúng ta sẽ cùng nhau nhắc lại các công thức, tính chất và làm quen với những ví dụ điển hình thường gặp trong đề thi.

Lý thuyết trọng tâm

1. Hàm số và đồ thị

a) Hàm số bậc hai: Hàm số có dạng y = ax² + bx + c (với a ≠ 0). Đồ thị là một đường parabol.

• Đỉnh parabol: I( -b/(2a) ; -Δ/(4a) ), với Δ = b² – 4ac.
• Trục đối xứng: Đường thẳng x = -b/(2a).
• Bề lõm: Quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0.

b) Hàm số bậc ba: Dạng y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0). Đồ thị luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

c) Hàm số trùng phương: Dạng y = ax⁴ + bx² + c. Đây là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.

d) Hàm số phân thức hữu tỉ: Dạng y = (ax + b) / (cx + d) (với c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0). Đồ thị là một đường cong hyperbol, có tiệm cận đứng x = -d/c và tiệm cận ngang y = a/c.

2. Phương trình và bất phương trình

• Phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Biệt thức Δ = b² – 4ac. Nếu Δ > 0: hai nghiệm phân biệt; Δ = 0: nghiệm kép; Δ < 0: vô nghiệm.
• Định lý Viète: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁, x₂ thì: x₁ + x₂ = -b/a và x₁x₂ = c/a.
• Bất phương trình bậc hai: Xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c dựa vào hệ số a và dấu của Δ. Quy tắc: “Trong trái, ngoài cùng” (trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a).

3. Mũ và Logarit

Các công thức lũy thừa cần nhớ:

• aᵐ . aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Định nghĩa và tính chất logarit: Với a > 0, a ≠ 1 và b > 0:

• logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
• logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y
• logₐ (x/y) = logₐ x – logₐ y
• logₐ bᵅ = α . logₐ b
• Công thức đổi cơ số: logₐ b = logₓ b / logₓ a

Hàm số mũ và hàm số logarit: Hàm số y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) luôn đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0 < a < 1. Tương tự, hàm số y = logₐ x (x > 0) cũng có tính đơn điệu tương ứng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc hai y = x² – 4x + 3. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và vẽ bảng biến thiên của hàm số.

Giải: Ta có a = 1, b = -4, c = 3. Hoành độ đỉnh: x = -b/(2a) = 4/2 = 2. Tung độ đỉnh: y = 2² – 4.2 + 3 = -1. Vậy đỉnh I(2; -1). Trục đối xứng: x = 2. Vì a > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x² – 3x + 2 < 0.

Giải: Xét tam thức f(x) = x² – 3x + 2. Δ = 9 – 8 = 1 > 0. Hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 2. a = 1 > 0. Áp dụng quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”: f(x) < 0 khi x nằm trong khoảng hai nghiệm. Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 < x < 2.

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: A = log₂ 8 + log₃ (1/9).

Giải: Ta có log₂ 8 = log₂ 2³ = 3. log₃ (1/9) = log₃ 3⁻² = -2. Vậy A = 3 + (-2) = 1.

Ghi nhớ

• Nắm vững công thức nghiệm và định lý Viète cho phương trình bậc hai.
• Xét dấu tam thức bậc hai thành thạo để giải bất phương trình.
• Thuộc lòng các công thức biến đổi lũy thừa và logarit.
• Nhận biết hình dáng đồ thị các hàm số cơ bản: bậc hai, bậc ba, trùng phương, phân thức, mũ và logarit.

Bài tập gợi ý

1. Tìm m để phương trình x² – 2(m + 1)x + m² – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2. Giải bất phương trình log₂ (x – 1) ≤ 3.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x² + 2x + 3.
4. Rút gọn biểu thức: B = (a⁰·⁵ – b⁰·⁵)² + 2√ab với a, b > 0.

Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!