Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Phương trình lượng giác cơ bản (Lý thuyết và ví dụ)

1. Giới thiệu

Các em thân mến, trong chương trình lớp 10, chúng ta đã làm quen với các giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác. Vậy nếu biết một giá trị lượng giác (ví dụ sinx = 1/2), làm thế nào để tìm được tất cả các góc x thỏa mãn? Đó chính là nội dung của bài học hôm nay: Phương trình lượng giác cơ bản. Bài này sẽ giúp các em hiểu cách giải hai dạng phương trình nền tảng: sinx = a và cosx = a.

2. Lý thuyết trọng tâm

2.1. Phương trình sinx = a

Xét phương trình: sinx = a (1)

• Trường hợp 1: Nếu |a| > 1, phương trình (1) vô nghiệm (vì giá trị sinx luôn nằm trong đoạn [-1; 1]).
• Trường hợp 2: Nếu |a| ≤ 1, ta có cách giải như sau:

Ta luôn tìm được một góc α (alpha) sao cho sinα = a (thường tra bảng lượng giác hoặc dùng máy tính). Khi đó, công thức nghiệm tổng quát là:

sinx = sinα

⇔ x = α + k2π  hoặc  x = π - α + k2π   (với k ∈ ℤ)

Lưu ý quan trọng: Nếu a có dạng đặc biệt (ví dụ a = 0; a = 1; a = -1), ta có thể viết gọn:

• sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)
• sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ ℤ)
• sinx = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π (k ∈ ℤ)

2.2. Phương trình cosx = a

Xét phương trình: cosx = a (2)

• Trường hợp 1: Nếu |a| > 1, phương trình (2) vô nghiệm.
• Trường hợp 2: Nếu |a| ≤ 1, tìm góc α sao cho cosα = a. Công thức nghiệm tổng quát là:

cosx = cosα

⇔ x = α + k2π  hoặc  x = -α + k2π   (với k ∈ ℤ)

Một số trường hợp đặc biệt:

• cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)
• cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ)
• cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sinx = 1/2

Bài giải:

Vì 1/2 nằm trong đoạn [-1;1] nên phương trình có nghiệm.

Ta biết sin(π/6) = 1/2, do đó α = π/6. Áp dụng công thức:

sinx = sin(π/6)

⇔ x = π/6 + k2π  hoặc  x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π  (k ∈ ℤ)

Ví dụ 2: Giải phương trình cosx = -√2/2

Bài giải:

Vì -√2/2 ∈ [-1;1] nên phương trình có nghiệm.

Ta có cos(3π/4) = -√2/2 (vì cos(3π/4) = -cos(π/4) = -√2/2). Vậy α = 3π/4. Công thức:

cosx = cos(3π/4)

⇔ x = 3π/4 + k2π  hoặc  x = -3π/4 + k2π  (k ∈ ℤ)

Ví dụ 3: Giải phương trình sinx = 2

Bài giải:

Vì |2| = 2 > 1, nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

4. Ghi nhớ

1. Phương trình sinx = a (|a| ≤ 1) có nghiệm: x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π (k ∈ ℤ)
2. Phương trình cosx = a (|a| ≤ 1) có nghiệm: x = α + k2π hoặc x = -α + k2π (k ∈ ℤ)
3. Luôn kiểm tra điều kiện của a trước khi áp dụng công thức.
4. Trong trường hợp a là các giá trị đặc biệt (0, ±1), nhớ các công thức rút gọn để viết nhanh hơn.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài sau:

1. Giải phương trình: sinx = -1/2
2. Giải phương trình: cosx = 0,5
3. Giải phương trình: sinx = -√3/2
4. Giải phương trình: cosx = -1
5. Tìm nghiệm của phương trình: 2sinx - 1 = 0