Bài tập: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập: Phương trình lượng giác cơ bản

Giới thiệu

Trong chương trình Toán 10, các em đã được học về phương trình lượng giác cơ bản với sin và cos. Đây là dạng toán quan trọng, làm nền tảng cho nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài hôm nay sẽ giúp các em luyện tập giải các phương trình dạng sin x = a và cos x = a thông qua những ví dụ có hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ

1. Phương trình sin x = a

• Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm:
  sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π (k ∈ ℤ)

2. Phương trình cos x = a

• Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm:
  cos x = cos α ⇔ x = α + k2π hoặc x = –α + k2π (k ∈ ℤ)

Lưu ý: Khi giải, cần đưa về dạng sin x = sin α hoặc cos x = cos α với α là một góc đặc biệt (0, π/6, π/4, π/3, π/2,…).

Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Giải phương trình sin x = 1/2

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: sin x = 1/2 = sin(π/6)
2. Áp dụng công thức nghiệm:
   – x = π/6 + k2π
   – x = π – π/6 + k2π = 5π/6 + k2π
3. Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 2: Giải phương trình cos x = –√2/2

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: cos x = –√2/2 = cos(3π/4) (vì cos 3π/4 = –√2/2)
2. Áp dụng công thức nghiệm:
   – x = 3π/4 + k2π
   – x = –3π/4 + k2π
3. Kết luận: Nghiệm là x = 3π/4 + k2π và x = –3π/4 + k2π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 2x = √3/2

Hướng dẫn giải:

1. Đặt t = 2x, phương trình trở thành sin t = √3/2 = sin(π/3)
2. Giải sin t = sin(π/3):
   – t = π/3 + k2π hoặc t = π – π/3 + k2π = 2π/3 + k2π
3. Thay t = 2x:
   – 2x = π/3 + k2π ⇒ x = π/6 + kπ
   – 2x = 2π/3 + k2π ⇒ x = π/3 + kπ
4. Kết luận: Nghiệm là x = π/6 + kπ và x = π/3 + kπ (k ∈ ℤ)

Ví dụ 4: Giải phương trình cos(x + π/4) = 0

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: cos(x + π/4) = 0 = cos(π/2)
2. Áp dụng công thức:
   – x + π/4 = π/2 + k2π ⇒ x = π/4 + k2π
   – x + π/4 = –π/2 + k2π ⇒ x = –3π/4 + k2π
3. Kết luận: Nghiệm là x = π/4 + k2π và x = –3π/4 + k2π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 5: Giải phương trình sin x – cos x = 0

Hướng dẫn giải:

1. Biến đổi: sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x
2. Vì sin x = cos(π/2 – x), ta có: cos(π/2 – x) = cos x
3. Giải: π/2 – x = x + k2π hoặc π/2 – x = –x + k2π
4. Trường hợp 1: π/2 – x = x + k2π ⇒ 2x = π/2 – k2π ⇒ x = π/4 – kπ
5. Trường hợp 2: π/2 – x = –x + k2π ⇒ π/2 = k2π (vô lý, loại)
6. Kết luận: Nghiệm là x = π/4 + kπ (k ∈ ℤ)
7. Cách khác: Chia cả hai vế cho cos x (cos x ≠ 0), ta được tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện |a| ≤ 1 trước khi giải phương trình sin x = a hoặc cos x = a.
• Khi gặp dạng sin f(x) = a hoặc cos f(x) = a, cần đặt t = f(x) để đưa về phương trình cơ bản.
• Chú ý đến chu kỳ của nghiệm: với sin và cos, chu kỳ là 2π.
• Khi giải phương trình có chứa cả sin và cos, có thể đưa về dạng sin x = cos x hoặc dùng công thức biến đổi.

Bài tập gợi ý

Hãy tự luyện tập các bài sau (có thể tham khảo hướng dẫn giải tương tự các ví dụ trên):

1. Bài 1: Giải phương trình sin x = –1/2
2. Bài 2: Giải phương trình cos x = 1
3. Bài 3: Giải phương trình sin 3x = √2/2
4. Bài 4: Giải phương trình cos(2x – π/3) = –1
5. Bài 5: Giải phương trình 2sin x – √3 = 0
6. Bài 6: Giải phương trình cos x + sin x = 0

Chúc các em học tốt và nhớ rằng: Luyện tập nhiều sẽ giúp các em thành thạo các dạng phương trình lượng giác cơ bản!