Bài tập: Hàm số logarit

Bài tập: Hàm số logarit

Giới thiệu

Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số logarit. Các em sẽ được củng cố kiến thức về định nghĩa, tính chất, cách vẽ đồ thị và đặc biệt là các phương pháp giải phương trình, bất phương trình logarit thông qua những ví dụ có hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ

1. Khái niệm logarit: Với hai số dương a và b (a ≠ 1), số α thỏa mãn a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là log_a b = α.

2. Tính chất cơ bản:

• log_a 1 = 0; log_a a = 1
• a^(log_a b) = b; log_a (a^α) = α
• log_a (x.y) = log_a x + log_a y (x, y > 0)
• log_a (x/y) = log_a x - log_a y (x, y > 0)
• log_a x^α = α.log_a x (x > 0)

3. Hàm số logarit: Hàm số y = log_a x (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là (0; +∞).

• Nếu a > 1: hàm số đồng biến
• Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến

Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

A = log_2 8 + log_3 27 - log_5 25

Hướng dẫn giải:

Ta có: log_2 8 = 3 (vì 2³ = 8); log_3 27 = 3 (vì 3³ = 27); log_5 25 = 2 (vì 5² = 25).

Vậy A = 3 + 3 - 2 = 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình: log_3 (x + 2) = 2

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x + 2 > 0 ⇒ x > -2.

Ta có: log_3 (x + 2) = 2 ⇔ x + 2 = 3² ⇔ x + 2 = 9 ⇔ x = 7 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = 7.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log_0.5 (2x - 1) > log_0.5 (x + 4)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: 2x - 1 > 0 và x + 4 > 0 ⇒ x > 1/2 và x > -4 ⇒ x > 1/2.

Vì cơ số a = 0,5 (0 < a < 1), hàm số logarit nghịch biến nên ta có:

log_0.5 (2x - 1) > log_0.5 (x + 4) ⇔ 2x - 1 < x + 4 ⇔ x < 5.

Kết hợp với điều kiện x > 1/2, ta được nghiệm: 1/2 < x < 5.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log_2 (x² + 1)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức đạo hàm: (log_a u)' = u' / (u.ln a)

Ta có: y' = (x² + 1)' / [(x² + 1).ln 2] = 2x / [(x² + 1).ln 2]

Ví dụ 5: Xét tính đơn điệu của hàm số y = log_3 (x - 2)

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: x - 2 > 0 ⇒ x > 2.

Vì cơ số a = 3 > 1 nên hàm số y = log_3 (x - 2) đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Ghi nhớ

• Điều kiện xác định: Biểu thức dưới dấu logarit phải dương; cơ số a > 0 và a ≠ 1.
• So sánh logarit cùng cơ số:
  • Nếu a > 1: log_a f(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) > g(x)
  • Nếu 0 < a < 1: log_a f(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) < g(x)
• Phương trình logarit cơ bản: log_a f(x) = b ⇔ f(x) = a^b (với điều kiện f(x) > 0).
• Đạo hàm hàm logarit: (log_a x)' = 1/(x.ln a) và (log_a u)' = u'/(u.ln a).

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài tập sau đây:

1. Tính giá trị: B = log_4 16 - log_2 0,5 + log_3 1
2. Giải phương trình: log_5 (3x - 1) = 2
3. Giải bất phương trình: log_2 (x + 1) < log_2 (2x - 3)
4. Tính đạo hàm của hàm số y = log_3 (x² - 4x + 5)
5. Tìm tập xác định của hàm số y = log_0.7 (x² - 1)
6. So sánh: log_2 5 và log_2 7

Lưu ý: Khi giải bài tập, các em cần chú ý kiểm tra điều kiện xác định trước khi thực hiện các phép biến đổi. Nếu gặp khó khăn, hãy quay lại xem lại phần lý thuyết và các ví dụ minh họa đã học.