Hàm số mũ

Bài 1: Hàm số mũ

1. Giới thiệu

Trong thực tế, chúng ta thường gặp những hiện tượng tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân như sự phát triển của vi khuẩn, lãi suất ngân hàng kép, hay phân rã phóng xạ. Để mô tả các hiện tượng này, các nhà toán học đã xây dựng một loại hàm số đặc biệt gọi là hàm số mũ. Trước khi tìm hiểu về hàm số mũ, chúng ta cần nắm vững khái niệm nền tảng về lũy thừa.

2. Lý thuyết: Nhắc lại về lũy thừa

Lũy thừa là phép toán nâng một số lên một số mũ. Tùy thuộc vào số mũ là số nguyên, số hữu tỉ hay số thực mà ta có các định nghĩa khác nhau.

a) Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Với a là một số thực và n là một số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a được ký hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số bằng nhau:

aⁿ = a × a × a × ... × a (n thừa số)

Trong đó: a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Ví dụ 1:

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• (-3)⁴ = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81
• 10⁵ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100.000

b) Lũy thừa với số mũ nguyên âm và lũy thừa với số mũ 0

Quy ước:

• Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1
• Với a ≠ 0 và n là số nguyên dương, ta có: a^-n = 1 / aⁿ

Ví dụ 2:

• 5⁰ = 1
• (-2)⁰ = 1
• 3^-2 = 1 / 3² = 1/9
• 2^-3 = 1 / 2³ = 1/8

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương và m, n là các số nguyên, với n ≥ 2. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ hữu tỉ m/n được định nghĩa là:

a^m/n = (a^1/n)^m = ⁿ√(a^m)

Trong đó a^1/n = ⁿ√a (căn bậc n của a).

Ví dụ 3:

• 8^2/3 = (8^1/3)² = (³√8)² = 2² = 4
• 16^3/4 = (16^1/4)³ = (⁴√16)³ = 2³ = 8
• 9^1/2 = √9 = 3

d) Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là một số thực dương và α là một số thực bất kỳ. Khi đó, a^α được xác định thông qua giới hạn của dãy các lũy thừa với số mũ hữu tỉ xấp xỉ α. Nói cách khác, ta có thể tính giá trị của a^α một cách gần đúng bằng máy tính cầm tay hoặc phần mềm.

Ví dụ 4:

• 2^π ≈ 8,8249778...
• 3^√2 ≈ 4,7288044...

Các tính chất của lũy thừa

Với hai số dương a, b và các số thực m, n bất kỳ, ta có các tính chất sau:

1. a^m × aⁿ = a^m+n
2. a^m / aⁿ = a^m-n (với a ≠ 0)
3. (a^m)ⁿ = a^m×n
4. (a × b)^m = a^m × b^m
5. (a / b)^m = a^m / b^m (với b ≠ 0)

3. Ví dụ minh họa tổng hợp

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau (với x > 0):

A = x² × x³ / x⁴

Giải:

Áp dụng tính chất a^m × aⁿ = a^m+n và a^m / aⁿ = a^m-n, ta có:

A = x^2+3-4 = x¹ = x

Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức:

B = 27^2/3 + 16^-1/2 - 5⁰

Giải:

27^2/3 = (27^1/3)² = (3)² = 9

16^-1/2 = 1 / 16^1/2 = 1 / √16 = 1/4

5⁰ = 1

Vậy B = 9 + 1/4 - 1 = 8 + 1/4 = 33/4

4. Ghi nhớ

• Lũy thừa là nền tảng quan trọng để hiểu hàm số mũ.
• Cần phân biệt rõ các trường hợp: số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỉ và thực.
• Mọi lũy thừa với số mũ thực chỉ xác định khi cơ số a > 0, ngoại trừ trường hợp số mũ nguyên.
• Học thuộc và vận dụng thành thạo 5 tính chất cơ bản của lũy thừa.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài tập sau để củng cố kiến thức:

1. Tính: a) 2⁵; b) (-3)³; c) (1/2)⁴
2. Tính: a) 4^-2; b) 9⁰; c) (2/3)^-3
3. Tính: a) 25^1/2; b) 81^3/4; c) 8^-2/3
4. Rút gọn biểu thức (với a > 0): C = (a^2/3 × a^1/4) / a^5/12
5. So sánh: a) 2³ và 3²; b) 4^1/2 và 8^1/3