Bài tập: Hàm số mũ

Giới thiệu bài học

Các em học sinh thân mến! Trong chương trình Toán 11, chúng ta đã được làm quen với khái niệm hàm số mũ - một trong những hàm số quan trọng nhất của toán học và ứng dụng thực tiễn. Trước khi đi sâu vào tìm hiểu hàm số mũ, chúng ta cần nắm vững kiến thức nền tảng về lũy thừa. Bài học hôm nay sẽ giúp các em ôn tập, củng cố và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về lũy thừa, làm nền tảng vững chắc cho việc học hàm số mũ và logarit.

I. Lý thuyết cần nhớ về lũy thừa

1. Định nghĩa lũy thừa

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với a là số thực và n là số nguyên dương, ta có:
  aⁿ = a.a.a...a ( n thừa số a )
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Với a ≠ 0 và n là số nguyên dương, ta có:
  a^-n = 1 / aⁿ
• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với a > 0 và m, n là số nguyên, n ≥ 2, ta có:
  a^m/n = ⁿ√(a^m)
• Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Cho a > 0 và α là số vô tỉ, ta xét dãy số hữu tỉ r_n có giới hạn là α. Khi đó:
  a^α = lim a^r_n (khi n → ∞)

2. Các tính chất cơ bản

Với a > 0, b > 0 và m, n là các số thực, ta có:

• a^m . aⁿ = a^m+n
• a^m : aⁿ = a^m-n (với a ≠ 0)
• (a^m)ⁿ = a^m.n
• (a.b)^m = a^m . b^m
• (a : b)^m = a^m : b^m (với b ≠ 0)

II. Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

Đề bài: Rút gọn biểu thức: A = (a^2/3.b^-1)³ : (a^1/2.b²)^-2 với a > 0, b > 0.

Hướng dẫn giải:

1. Áp dụng tính chất lũy thừa của một tích: (x^m.yⁿ)^p = x^m.p.y^n.p
2. Ta tính tử số: (a^2/3.b^-1)³ = a^(2/3).3 . b^(-1).3 = a² . b^-3
3. Ta tính mẫu số: (a^1/2.b²)^-2 = a^(1/2).(-2) . b^2.(-2) = a^-1 . b^-4
4. Thực hiện phép chia: A = (a² . b^-3) : (a^-1 . b^-4)
5. Áp dụng tính chất: x^m : xⁿ = x^m-n
6. Kết quả: A = a^{2 - (-1)} . b^{-3 - (-4)} = a³ . b¹
7. Đáp số: A = a³.b

Ví dụ 2: So sánh hai lũy thừa

Đề bài: So sánh: (3,2)^π/4 và (3,2)^0,7.

Hướng dẫn giải:

1. Nhận xét cơ số: a = 3,2 > 1. Với cơ số lớn hơn 1, hàm số mũ đồng biến.
2. So sánh hai số mũ: π/4 ≈ 3,14/4 = 0,785... và 0,7.
3. Ta thấy: 0,785... > 0,7, tức là π/4 > 0,7.
4. Vì cơ số 3,2 > 1 nên lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn.
5. Kết luận: (3,2)^π/4 > (3,2)^0,7

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức có căn thức

Đề bài: Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: B = √(a . ³√(a . √a)) với a > 0.

Hướng dẫn giải:

1. Viết từ trong ra ngoài: √a = a^1/2
2. Biểu thức con: a . √a = a¹ . a^1/2 = a^{1 + 1/2} = a^3/2
3. Tiếp theo: ³√(a . √a) = ³√(a^3/2) = a^{(3/2) . (1/3)} = a^1/2
4. Biểu thức bên ngoài: a . ³√(a . √a) = a¹ . a^1/2 = a^3/2
5. Căn bậc hai tổng thể: √(a^3/2) = a^{(3/2) . (1/2)} = a^3/4
6. Đáp số: B = a^3/4

III. Ghi nhớ quan trọng

• Điều kiện cơ số: Khi làm việc với lũy thừa có số mũ không nguyên (hữu tỉ, vô tỉ), cơ số phải dương (a > 0).
• Tính chất quan trọng: Nếu a > 1 thì a^m > aⁿ khi và chỉ khi m > n. Nếu 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ khi và chỉ khi m < n.
• Kỹ thuật biến đổi: Luôn đưa các căn thức về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ để dễ dàng áp dụng các tính chất.

IV. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài tập sau đây để củng cố kiến thức:

1. Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
   C = (27^2/3 + 16^-3/4 - 8⁰) . (0,25)^-1/2
2. Bài 2: Rút gọn biểu thức:
   D = (a^3/4 - b^3/4) / (a^1/2 - b^1/2) với a > 0, b > 0 và a ≠ b
3. Bài 3: So sánh các cặp số sau:
   a) (0,7)^√2 và (0,7)^1,5
   b) 2^π và 3^π
4. Bài 4: Viết biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa:
   E = ⁴√(a² . ³√(a²)) với a > 0
5. Bài 5: Cho a > 0, chứng minh rằng:
   √(a + √(a + √a)) . √(a - √(a - √a)) = √(a² - a + √a)

Gợi ý: Với bài 5, các em hãy nhân hai biểu thức dưới dấu căn với nhau và sử dụng hằng đẳng thức (A - B)(A + B) = A² - B².