Ôn tập đại số

Ôn tập Đại số – Toán 11 (Ôn thi tốt nghiệp THPT)

1. Giới thiệu

Đại số là một trong những mảng kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 11 và kỳ thi tốt nghiệp THPT. Bài ôn tập này sẽ giúp các em hệ thống lại các khái niệm cốt lõi: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, và các hàm số lượng giác. Nắm chắc lý thuyết là bước đầu tiên để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến vận dụng cao.

2. Lý thuyết trọng tâm

2.1. Dãy số

Khái niệm: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương (thường bắt đầu từ 1). Ta thường ký hiệu dãy số là u₁, u₂, …, u_n, …

• Dãy số tăng: u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm: u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số bị chặn: Tồn tại số M và m sao cho m ≤ u_n ≤ M với mọi n.

2.2. Cấp số cộng (CSC)

Khái niệm: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi gọi là công sai (d).

• Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1).d
• Tính chất: u_k = (u_k-1 + u_k+1) / 2 với k ≥ 2.
• Tổng n số hạng đầu: S_n = n/2 . (2u₁ + (n-1)d) = n/2 . (u₁ + u_n)

2.3. Cấp số nhân (CSN)

Khái niệm: Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi gọi là công bội (q).

• Công thức tổng quát: u_n = u1 . q^(n-1)
• Tính chất: u_k² = u_k-1 . u_k+1 với k ≥ 2.
• Tổng n số hạng đầu (với q ≠ 1): S_n = u₁ . (1 – qⁿ) / (1 – q)

2.4. Hàm số lượng giác

Các hàm số lượng giác cơ bản: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.

• Tập xác định: sin x và cos x xác định với mọi x ∈ R. tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ. cot x xác định khi x ≠ kπ.
• Tính tuần hoàn: sin(x + k2π) = sin x, cos(x + k2π) = cos x. tan(x + kπ) = tan x, cot(x + kπ) = cot x.
• Đồ thị: Học sinh cần nhận dạng đồ thị hình sin, hình cos, các đường tiệm cận của tan, cot.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 2, công sai d = 3. Tính số hạng thứ 10 và tổng 10 số hạng đầu.

Giải:

• Số hạng thứ 10: u₁₀ = u1 + (10 – 1).d = 2 + 9×3 = 29.
• Tổng 10 số hạng đầu: S₁₀ = 10/2 . (2 + 29) = 5 × 31 = 155.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (v_n) có v₁ = 3, công bội q = 2. Tính số hạng thứ 5 và tổng 5 số hạng đầu.

Giải:

• Số hạng thứ 5: v₅ = v₁ . q⁴ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48.
• Tổng 5 số hạng đầu: S₅ = 3 × (1 – 2⁵) / (1 – 2) = 3 × (1 – 32) / (-1) = 3 × 31 = 93.

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số y = tan(2x – π/4).

Giải:

• Hàm số tan xác định khi: 2x – π/4 ≠ π/2 + kπ.
• Giải: 2x ≠ π/2 + π/4 + kπ = 3π/4 + kπ ⇒ x ≠ 3π/8 + kπ/2 (k ∈ Z).
• Vậy tập xác định: D = R \ {3π/8 + kπ/2 | k ∈ Z}.

4. Ghi nhớ

• Phân biệt rõ công sai (d) trong CSC và công bội (q) trong CSN.
• Công thức tổng CSN chỉ áp dụng khi q ≠ 1; nếu q = 1 thì S_n = n.u₁.
• Hàm số lượng giác có tính tuần hoàn, cần lưu ý tập xác định và chu kỳ khi giải phương trình.
• Luôn kiểm tra điều kiện của n (n ∈ N*) khi làm bài về dãy số.

5. Bài tập gợi ý

1. Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n – 2. Xác định tính tăng, giảm của dãy.
2. Tìm số hạng thứ 12 và tổng 12 số hạng đầu của cấp số cộng biết u₁ = 5, u₃ = 11.
3. Một cấp số nhân có u₂ = 6, u₅ = 48. Tìm u₁ và công bội q.
4. Tìm tập xác định của hàm số y = cot(3x + π/6).
5. Cho hàm số y = 2sin x – 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.