Ôn tập giải tích

Ôn tập Giải tích 11 – Chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT

Giới thiệu

Giải tích là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 và là nội dung không thể thiếu trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Bài ôn tập này giúp các em hệ thống lại các kiến thức cốt lõi về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và giới hạn của hàm số. Nắm vững lý thuyết và biết cách áp dụng vào các ví dụ cụ thể sẽ giúp các em tự tin hơn khi làm bài thi.

Lý thuyết trọng tâm

1. Dãy số

Định nghĩa: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương. Dãy số thường được ký hiệu là u_n.

Cách cho dãy số: Dãy số có thể được cho bằng công thức số hạng tổng quát, bằng công thức truy hồi, hoặc bằng mô tả.

• Công thức số hạng tổng quát: Ví dụ: u_n = 2n + 1.
• Công thức truy hồi: Ví dụ: u₁ = 2, u_n = u_n-1 + 3 với n ≥ 2.

2. Cấp số cộng

Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai.

• Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d
• Tính chất: u_k+1 – u_k = d (với mọi k).
• Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = [n(u₁ + u_n)]/2 hoặc S_n = [2u₁ + (n – 1)d] × n/2

3. Cấp số nhân

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội.

• Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ × q^{n – 1}
• Tính chất: u_k+1 / u_k = q (với q ≠ 0).
• Tổng n số hạng đầu tiên: Nếu q ≠ 1 thì S_n = u₁ × (1 – qⁿ)/(1 – q). Nếu q = 1 thì S_n = n × u₁

4. Giới hạn của dãy số

Định nghĩa: Dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n tiến đến vô cực, ký hiệu lim u_n = 0, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Một số giới hạn đặc biệt:

• lim 1/n^k = 0 với mọi số nguyên dương k.
• lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.
• Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì:
  • lim (u_n ± v_n) = a ± b
  • lim (u_n × v_n) = a × b
  • lim (u_n / v_n) = a / b (với b ≠ 0)

5. Giới hạn của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x₀. Giới hạn của f(x) khi x dần đến x₀ là L, ký hiệu lim_x→x0 f(x) = L, nếu với mọi dãy (x_n) tiến đến x₀, ta đều có lim f(x_n) = L.

Một số quy tắc tính giới hạn hàm số:

• Nếu lim_x→x0 f(x) = a và lim_x→x0 g(x) = b thì:
  • lim_x→x0 [f(x) ± g(x)] = a ± b
  • lim_x→x0 [f(x) × g(x)] = a × b
  • lim_x→x0 [f(x) / g(x)] = a / b (với b ≠ 0)

Giới hạn một bên: Nếu lim_x→x0^- f(x) = L và lim_x→x0⁺ f(x) = L thì lim_x→x0 f(x) = L. Ngược lại, nếu hai giới hạn một bên khác nhau, giới hạn tại điểm đó không tồn tại.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 3 và d = 2. Tìm số hạng thứ 10 và tổng 10 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 10: u₁₀ = 3 + (10 – 1) × 2 = 3 + 18 = 21.
• Tổng 10 số hạng đầu: S₁₀ = [10 × (3 + 21)] / 2 = (10 × 24) / 2 = 120.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 2 và q = 3. Tìm số hạng thứ 5 và tổng 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
• Tổng 5 số hạng đầu: S₅ = 2 × (1 – 3⁵) / (1 – 3) = 2 × (1 – 243) / (-2) = 2 × (-242) / (-2) = 242.

Ví dụ 3: Tính giới hạn lim_x→2 (x² + 3x – 1).

Giải: Hàm số f(x) = x² + 3x – 1 xác định tại x = 2. Nên ta thay trực tiếp: lim_x→2 (x² + 3x – 1) = 2² + 3×2 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9.

Ví dụ 4: Tính giới hạn lim_x→3 (x² – 9) / (x – 3).

Giải: Khi x → 3, cả tử và mẫu đều tiến đến 0. Phân tích tử: x² – 9 = (x – 3)(x + 3). Rút gọn: (x² – 9) / (x – 3) = x + 3 (với x ≠ 3). Do đó lim_x→3 (x² – 9) / (x – 3) = lim_x→3 (x + 3) = 6.

Ghi nhớ

• Nhận biết dãy số có phải là cấp số cộng, cấp số nhân hay không dựa vào tính chất u_n+1 – u_n = const hoặc u_n+1 / u_n = const.
• Khi tính giới hạn dạng vô định (0/0, ∞/∞), cần biến đổi đại số hoặc chia tử và mẫu cho bậc cao nhất.
• Giới hạn hàm số chỉ tồn tại nếu giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Bài tập gợi ý

1. Cho cấp số cộng có u₅ = 15 và u₁₀ = 35. Tìm u₁ và d.
2. Cho cấp số nhân có u₂ = 6 và u₅ = 162. Tìm u₁ và q.
3. Tính giới hạn: lim_n→∞ (3n² + 2n – 1) / (n² + 5).
4. Tính giới hạn: lim_x→1 (x³ – 1) / (x – 1).
5. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = (x² – 4) / (x – 2) tại x = 2. Nếu không liên tục, hãy s