Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán 11, chúng ta đã làm quen với các hàm số lượng giác sin và cos. Một câu hỏi thường gặp trong thực tế là: “Làm thế nào để tìm góc $x$ khi biết giá trị của sin $x$ hoặc cos $x$?” Bài học hôm nay sẽ giúp các em trả lời câu hỏi đó thông qua việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

2. Lý thuyết cơ bản

2.1. Phương trình $\sin x = a$

Điều kiện có nghiệm: Phương trình $\sin x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a| \le 1$. Nếu $|a| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm:

• Nếu $a$ là một giá trị đặc biệt (ví dụ $a=0$, $a=1$, $a=\frac12$,…), ta có thể viết trực tiếp:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

• Nếu $a$ không phải giá trị đặc biệt, ta dùng kí hiệu arcsin: $\alpha = \arcsin a$ (với $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$). Khi đó:

$\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin a + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin a + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

2.2. Phương trình $\cos x = a$

Điều kiện có nghiệm: Phương trình $\cos x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a| \le 1$. Nếu $|a| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm:

• Nếu $a$ là giá trị đặc biệt:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

• Nếu $a$ không phải giá trị đặc biệt, ta dùng kí hiệu arccos: $\alpha = \arccos a$ (với $0 \le \alpha \le \pi$). Khi đó:

$\cos x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arccos a + k2\pi \\ x = -\arccos a + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sin x = \frac12$.

Vì $\frac12$ là giá trị đặc biệt và $\sin \frac{\pi}{6} = \frac12$, ta có:

$\sin x = \sin \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ với $k$ là số nguyên.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$.

Ta có $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$. Do đó:

$\cos x = \cos \frac{3\pi}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \\ x = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

Kết luận: Nghiệm là $x = \pm \frac{3\pi}{4} + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sin x = 0.3$.

Vì $0.3$ không phải giá trị đặc biệt, ta dùng arcsin. Đặt $\alpha = \arcsin 0.3$. Khi đó:

$\sin x = 0.3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin 0.3 + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin 0.3 + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trong thực hành, $\arcsin 0.3 \approx 0.3047$ rad (khoảng $17.46^\circ$).

4. Ghi nhớ

• Điều kiện tồn tại nghiệm: Phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$ chỉ có nghiệm khi $|a| \le 1$.
• Công thức nghiệm cho sin: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$.
• Công thức nghiệm cho cos: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = -\alpha + k2\pi$.
• Kí hiệu arcsin và arccos: Dùng khi giá trị $a$ không phải là giá trị đặc biệt (sin, cos của các góc trong bảng lượng giác).
• Hằng số $k$: Luôn là số nguyên ($k \in \mathbb{Z}$), thể hiện tính chu kì của hàm lượng giác.

5. Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài sau để nắm vững kiến thức:

1. Giải các phương trình sau:
   • $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$
   • $\cos x = -\frac12$
   • $\sin x = -0.8$
2. Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 4\pi]$.
3. Giải phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{5}$ và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
4. Chứng minh rằng phương trình $\sin x = 2$ vô nghiệm.