Bài tập: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập: Phương trình lượng giác cơ bản (sin và cos)

Giới thiệu

Các em thân mến, sau khi đã học cách giải các phương trình lượng giác cơ bản dạng sin x = a và cos x = a, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập thông qua các bài tập cụ thể. Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững công thức nghiệm, đồng thời biết cách xử lý các dạng bài biến đổi và tìm nghiệm trong khoảng cho trước. Hãy tập trung vào phương pháp và các bước giải để tránh những sai sót thường gặp nhé!

Lý thuyết cần nhớ

1. Phương trình sin x = a

• Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
• Công thức nghiệm:
  • x = α + k2π (với sinα = a)
  • x = π - α + k2π
  hoặc gộp chung:
  • x = α + k2π và x = π - α + k2π (k ∈ ℤ)

2. Phương trình cos x = a

• Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
• Công thức nghiệm:
  • x = α + k2π (với cosα = a)
  • x = -α + k2π
  hoặc gộp chung:
  • x = ±α + k2π (k ∈ ℤ)

Lưu ý: Các em có thể dùng đơn vị độ (đối với các góc đặc biệt) hoặc radian. Khi viết nghiệm, phải thống nhất đơn vị trong suốt bài giải.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin x = ½

Hướng dẫn giải:

1. Vì ½ ∈ [-1; 1] nên phương trình có nghiệm.
2. Ta có sin(π/6) = ½. Vậy α = π/6.
3. Áp dụng công thức:
   • x = π/6 + k2π
   • x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 2: Giải phương trình cos x = -√2/2

Hướng dẫn giải:

1. Vì -√2/2 ∈ [-1; 1] nên phương trình có nghiệm.
2. Ta có cos(3π/4) = -√2/2. Vậy α = 3π/4.
3. Áp dụng công thức:
   • x = 3π/4 + k2π
   • x = -3π/4 + k2π (k ∈ ℤ)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = ±3π/4 + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 3: Giải phương trình sin (2x - π/3) = sin (x + π/6)

Hướng dẫn giải:

1. Phương trình tương đương với:
   • Trường hợp 1: 2x - π/3 = x + π/6 + k2π ⇒ x = π/2 + k2π
   • Trường hợp 2: 2x - π/3 = π - (x + π/6) + k2π = 5π/6 - x + k2π ⇒ 3x = 7π/6 + k2π ⇒ x = 7π/18 + k2π/3

Kết luận: Nghiệm là x = π/2 + k2π và x = 7π/18 + k2π/3 (k ∈ ℤ).

Ví dụ 4: Tìm nghiệm của phương trình cos x = ½ trong khoảng (0; 2π)

Hướng dẫn giải:

1. Phương trình có nghiệm tổng quát: x = ±π/3 + k2π (k ∈ ℤ).
2. Xét trong khoảng (0; 2π):
   • Với x = π/3 + k2π: Cho k = 0 ⇒ x = π/3 (thỏa mãn). Cho k = 1 ⇒ x = π/3 + 2π > 2π (loại).
   • Với x = -π/3 + k2π: Cho k = 1 ⇒ x = 5π/3 (thỏa mãn). Cho k = 0 ⇒ x = -π/3 < 0 (loại).

Kết luận: Trong khoảng (0; 2π), phương trình có hai nghiệm là x = π/3 và x = 5π/3.

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện có nghiệm (|a| ≤ 1) trước khi giải.
• Viết đúng công thức nghiệm: riêng biệt 2 họ nghiệm cho sin, gộp ± cho cos.
• Đừng quên hằng số k ∈ ℤ trong mọi công thức nghiệm.
• Khi phương trình có dạng sin(f(x)) = sin(g(x)) hoặc cos(f(x)) = cos(g(x)), các em hãy đặt f(x) và g(x) bằng nhau theo công thức trên, không được chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn vì có thể làm mất nghiệm.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự giải các bài tập sau để rèn luyện thêm nhé:

1. Giải phương trình: sin x = -1.
2. Giải phương trình: cos x = 0.
3. Giải phương trình: 2cos x + √3 = 0.
4. Giải phương trình: sin(3x) = sin(π/4).
5. Tìm nghiệm của phương trình cos(2x + π/3) = ½ trong khoảng [-π; π].

Hướng dẫn tóm tắt:

• Bài 1: sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + k2π.
• Bài 2: cos x = 0 ⇒ x = π/2 + kπ.
• Bài 3: Đưa về cos x = -√3/2, sau đó tìm α phù hợp.
• Bài 4: Áp dụng công thức sin A = sin B.
• Bài 5: Giải tổng quát rồi thử các giá trị k để tìm nghiệm trong khoảng cho trước.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra sắp tới!