Hàm số logarit

Bài: HÀM SỐ LOGARIT (LÝ THUYẾT)

1. Giới thiệu

Trong thực tế, chúng ta thường gặp những bài toán tìm số mũ khi biết giá trị của lũy thừa. Ví dụ: "Tìm x để 2^x = 8" thì ta biết ngay x = 3. Nhưng nếu bài toán là "Tìm x để 2^x = 5" thì ta cần một khái niệm mới: đó là logarit. Bài học hôm nay sẽ giúp các em hiểu rõ về hàm số logarit, một trong những hàm số quan trọng của chương trình Toán 12.

2. Lý thuyết

2.1. Khái niệm logarit

Cho hai số dương a và b với a ≠ 1. Số thực α thỏa mãn a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là log_ab.

Như vậy: α = log_ab ⇔ a^α = b

Ví dụ minh họa:

• log₂8 = 3 vì 2³ = 8.
• log₃81 = 4 vì 3⁴ = 81.
• log₅1 = 0 vì 5⁰ = 1.
• log₂(1/4) = -2 vì 2^-2 = 1/4.

2.2. Hàm số logarit

Định nghĩa: Cho cơ số a với a > 0, a ≠ 1. Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Tập xác định: D = (0; +∞) (vì biểu thức logarit chỉ có nghĩa khi đối số dương).

Tập giá trị: T = ℝ (hàm số logarit nhận mọi giá trị thực).

Tính chất quan trọng: Hàm số logarit liên tục trên tập xác định và có đạo hàm: (log_ax)' = 1 / (x ln a).

2.3. Sự biến thiên và đồ thị

Với a > 1: Hàm số y = log_ax đồng biến trên (0; +∞).

• Khi x → 0⁺ thì y → -∞ (đồ thị nhận trục Oy làm tiệm cận đứng).
• Khi x → +∞ thì y → +∞.
• Đồ thị đi qua điểm (1; 0) và (a; 1).

Với 0 < a < 1: Hàm số y = log_ax nghịch biến trên (0; +∞).

• Khi x → 0⁺ thì y → +∞ (đồ thị nhận trục Oy làm tiệm cận đứng).
• Khi x → +∞ thì y → -∞.
• Đồ thị đi qua điểm (1; 0) và (a; 1).

2.4. Mối quan hệ với hàm số mũ

Hàm số y = log_ax và y = a^x là hai hàm số ngược nhau, nghĩa là đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Lưu ý: Logarit thập phân (cơ số 10) viết là log x hoặc lg x. Logarit tự nhiên (cơ số e) viết là ln x.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y = log₂(x - 3).

Giải: Hàm số xác định khi x - 3 > 0 ⇔ x > 3. Vậy tập xác định D = (3; +∞).

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = log_0,5x.

Giải: Cơ số a = 0,5 thỏa mãn 0 < a < 1, nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

Ví dụ 3: So sánh log₂3 và log₂5.

Giải: Cơ số a = 2 > 1 nên hàm số đồng biến. Vì 3 < 5 nên log₂3 < log₂5.

4. Ghi nhớ

• Logarit cơ số a của b là số mũ α sao cho a^α = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Hàm số y = log_ax có tập xác định là (0; +∞).
• Nếu a > 1: hàm số đồng biến; nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.
• Đồ thị hàm số y = log_ax nhận trục Oy làm tiệm cận đứng và luôn đi qua điểm (1; 0).

5. Bài tập gợi ý

1. Tìm tập xác định của các hàm số:
   • y = log₃(2x + 1)
   • y = log_0,2(4 - x)
2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
   • y = log_√2x
   • y = log_1/3x
3. So sánh các cặp số:
   • log₅7 và log₅9
   • log_0,32 và log_0,35
4. Vẽ đồ thị hàm số y = log₂x và cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = 3.