Bài tập: Hàm số logarit

Giới thiệu

Chào các em! Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến logarit. Đây là một khái niệm quan trọng trong chương Hàm số mũ và logarit. Các em sẽ được làm quen với các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, giúp củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi. Chúng ta sẽ tập trung vào các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết để hiểu rõ phương pháp làm bài.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi bắt đầu bài tập, các em cần nắm vững các kiến thức cốt lõi sau đây về logarit:

• Định nghĩa: Cho hai số dương a (a ≠ 1) và b. Số thực x thỏa mãn a^x = b được gọi là logarit cơ số a của b, ký hiệu là x = log_ab.
• Điều kiện có nghĩa: Biểu thức log_ab có nghĩa khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
• Các tính chất cơ bản:
  • log_a1 = 0
  • log_aa = 1
  • a^log_ab = b
  • log_a(b₁.b₂) = log_ab₁ + log_ab₂ (với b₁, b₂ > 0)
  • log_a(b₁/b₂) = log_ab₁ - log_ab₂ (với b₁, b₂ > 0)
  • log_ab^α = α.log_ab (với b > 0)
• Công thức đổi cơ số: log_ab = log_cb / log_ca (với a, b, c > 0, a ≠ 1, c ≠ 1). Một dạng đặc biệt hay dùng: log_ab = 1 / log_ba (với b ≠ 1).

Bài tập có hướng dẫn giải

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức logarit

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức sau: A = log₂8 + log₃1 - log₅(1/25)

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: log₂8 = log₂2³ = 3 (vì 2³ = 8).
2. log₃1 = 0 (theo tính chất cơ bản).
3. log₅(1/25) = log₅5^-2 = -2 (vì 5^-2 = 1/25).
4. Vậy A = 3 + 0 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: B = log₂(6) + log₂(3) - log₂(9)

Hướng dẫn giải:

1. Áp dụng tính chất tổng và hiệu của logarit:
   B = log₂[(6.3) / 9] = log₂(18 / 9) = log₂2.
2. Mà log₂2 = 1 (theo tính chất cơ bản).
3. Vậy B = 1.

Dạng 2: So sánh các logarit

Ví dụ 3: So sánh các số sau: log₂3 và log₅8.

Hướng dẫn giải:

1. Để so sánh, ta thường đưa về cùng cơ số hoặc sử dụng các giá trị trung gian.
2. Nhận xét: log₂3 > log₂2 = 1 (vì cơ số 2 > 1 và 3 > 2). Vậy log₂3 > 1.
3. Xét log₅8: log₅8 < log₅25 = 2 (vì 8 < 25 và cơ số 5 > 1). Nhưng so với 1: log₅8 > log₅5 = 1 (vì 8 > 5). Vậy log₅8 > 1.
4. Ta cần một cách khác. Chọn số trung gian là 1.5. Ta thấy: log₂3 ≈ 1.58. log₅8: ta đổi cơ số log₅8 = log₂8 / log₂5 = 3 / log₂5. Mà log₂5 ≈ 2.32, nên log₅8 ≈ 1.29. Do 1.58 > 1.29, suy ra log₂3 > log₅8.
5. Lưu ý: Có thể so sánh bằng cách đưa về cùng cơ số 10 (logarit thập phân) hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị gần đúng.

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức logarit có nghĩa

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số: y = log₂(x² - 3x + 2)

Hướng dẫn giải:

1. Biểu thức logarit có nghĩa khi cơ số dương (đã thỏa mãn vì cơ số 2 > 0 và ≠ 1) và đối số dương.
2. Điều kiện: x² - 3x + 2 > 0.
3. Giải bất phương trình bậc hai: Phương trình x² - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 1, x = 2.
4. Xét dấu tam thức: a = 1 > 0, nên x² - 3x + 2 > 0 khi x < 1 hoặc x > 2.
5. Vậy tập xác định của hàm số là: D = (-∞; 1) ∪ (2; +∞).

Dạng 4: Giải phương trình logarit cơ bản

Ví dụ 5: Giải phương trình: log₃(x - 1) = 2

Hướng dẫn giải:

1. Điều kiện: x - 1 > 0 ⇔ x > 1.
2. Biến đổi phương trình về dạng mũ: 3² = x - 1.
3. Giải: 9 = x - 1 ⇔ x = 10.
4. Kiểm tra điều kiện: x = 10 > 1 (thỏa mãn).
5. Vậy nghiệm của phương trình là x = 10.

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện có nghĩa của biểu thức logarit trước khi giải bài.
• Nắm vững các tính chất cơ bản và công thức đổi cơ số để biến đổi linh hoạt.
• Đối với phương trình logarit, sau khi tìm nghiệm, cần đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm ngoại lai.
• Khi so sánh logarit, có thể dùng số trung gian (như 0, 1) hoặc đổi cơ số.

Bài tập gợi ý tự giải

Các em hãy tự luyện tập với các bài tập sau để nâng cao kỹ năng:

1. Tính giá trị biểu thức:
   • C = log₄64 + log₇(1/7) - log₁₀100
   • D = log₂(12) - log₂(3) + log₂(8)
2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
   • y = log₅(4 - x²)
   • y = log_0,5(x² + 2x - 3)
3. Giải các phương trình:
   • log₂(x + 5) = 3
   • log₄(x² - 1) = 1
4. So sánh: log₃10 và log₂7.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!