Ôn tập đại số

Ôn tập đại số – Lý thuyết và ví dụ trọng tâm

Chào các em, trong chặng ôn thi tốt nghiệp THPT sắp tới, phần Đại số chiếm một tỉ trọng rất lớn trong cấu trúc đề thi. Bài học hôm nay sẽ giúp các em hệ thống lại những kiến thức cốt lõi nhất, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể để các em vận dụng thành thạo. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập ba mảng chính: Hàm số và khảo sát hàm số, Mũ – Logarit, và Nguyên hàm – Tích phân.

1. Hàm số và khảo sát hàm số

Lý thuyết cần nhớ:

• Khảo sát sự biến thiên: Xét dấu đạo hàm \( y' \) để tìm khoảng đồng biến ( \( y' > 0 \) ), nghịch biến ( \( y' < 0 \) ) và các điểm cực trị.
• Đường tiệm cận:
  • Tiệm cận ngang: \( y = y_0 \) nếu \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0 \).
  • Tiệm cận đứng: \( x = x_0 \) nếu \( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \) hoặc \( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \).
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: Tìm trên đoạn [a; b] bằng cách tính \( f(x) \) tại các điểm tới hạn (nơi \( f'(x)=0 \) hoặc không xác định) và tại hai đầu mút a, b.

Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số \( y = \frac{2x-1}{x+1} \). Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Giải:

• Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).
• Tiệm cận đứng: Vì \( \lim_{x \to -1^+} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty \) và \( \lim_{x \to -1^-} \frac{2x-1}{x+1} = +\infty \), nên đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang: \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2 \), nên đường thẳng \( y = 2 \) là tiệm cận ngang.

2. Hàm số mũ – Hàm số logarit

Lý thuyết cần nhớ:

• Công thức lũy thừa – logarit cơ bản:
  • \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), \( \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \), \( (a^x)^y = a^{xy} \).
  • \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \) (với \( x,y > 0 \), \( a > 0, a \neq 1 \)).
  • \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \).
  • \( \log_a b^c = c \log_a b \).
• Phương trình mũ và logarit cơ bản:
  • \( a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b \) (với \( a > 0, a \neq 1, b > 0 \)).
  • \( \log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b \).

Ví dụ minh họa 2: Giải phương trình \( \log_2 (x-3) + \log_2 (x-1) = 3 \).

Giải:

• Điều kiện: \( x-3 > 0 \) và \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
• Biến đổi: \( \log_2 [(x-3)(x-1)] = 3 \Leftrightarrow (x-3)(x-1) = 2^3 = 8 \).
• \( x^2 - 4x + 3 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow (x-5)(x+1) = 0 \).
• Nghiệm: \( x = 5 \) (thỏa điều kiện) hoặc \( x = -1 \) (loại vì \( x > 3 \)).
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \( x = 5 \).

3. Nguyên hàm – Tích phân

Lý thuyết cần nhớ:

• Bảng nguyên hàm cơ bản:
  • \( \int k \, dx = kx + C \).
  • \( \int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \) (với \( \alpha \neq -1 \)).
  • \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
  • \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \).
• Công thức Newton – Leibniz (tích phân xác định): \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \), trong đó \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \).
• Ứng dụng hình học: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \) là \( S = \int_a^b |f(x)| \, dx \).

Ví dụ minh họa 3: Tính tích phân \( I = \int_1^2 (x^3 + 2x) \, dx \).

Giải:

• Nguyên hàm: \( \int (x^3 + 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^2 + C \).
• Áp dụng công thức Newton – Leibniz: \( I = \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{16}{4} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = (4 + 4) - \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = 8 - \frac{5}{4} = \frac{27}{4} \).
• Vậy \( I = \frac{27}{4} \).

Ghi nhớ

• Khi khảo sát hàm số, luôn nhớ tìm tập xác định trước tiên. Việc xét dấu đạo hàm phải chính xác để kết luận đúng tính đơn điệu và cực trị.
• Với mũ – logarit, các em cần thuộc lòng các công thức biến đổi và đặc biệt là nhớ điều kiện của các biểu thức dưới dấu logarit (cơ số dương khác 1, biểu thức dương).
• Nguyên hàm – tích phân thường xuất hiện các bài toán tính diện tích hoặc thể tích. Hãy lập bảng nguyên hàm để tra cứu nhanh và đừng quên hằng số C khi tìm nguyên hàm tổng quát.

Bài tập gợi ý

Các em hãy thử sức với những bài tập sau để củng cố kiến thức:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \).
2. Giải phương trình: \( 3^{x+1} + 3^x = 36 \).
3. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + 2e^x \), biết \( F(1) = 0 \).
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x \) và trục hoành.

Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!