Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giới thiệu

Trong thực tế, chúng ta thường gặp các bài toán liên quan đến góc và độ dài, chẳng hạn như tính chiều cao của một tòa nhà khi biết góc nhìn, hay xác định thời điểm con lắc đổi chiều chuyển động. Những bài toán này dẫn đến việc tìm góc (hay số đo radian) thỏa mãn một đẳng thức liên quan đến sin, cos. Đó chính là nhiệm vụ của phương trình lượng giác cơ bản.

2. Lý thuyết

Trước hết, ta nhắc lại đường tròn lượng giác. Đó là đường tròn có bán kính bằng 1, tâm trùng với gốc tọa độ O. Mỗi điểm M trên đường tròn này ứng với một góc α (tính từ tia Ox). Khi đó:

• cos α = hoành độ của điểm M.
• sin α = tung độ của điểm M.

Phương trình lượng giác cơ bản có dạng tổng quát:

• Phương trình sin x = m (với -1 ≤ m ≤ 1)
• Phương trình cos x = m (với -1 ≤ m ≤ 1)

Công thức nghiệm của phương trình sin x = m:

Nếu m nằm ngoài đoạn [-1; 1] thì phương trình vô nghiệm.

Nếu m ∈ [-1; 1], ta tìm được góc α (gọi là cung lượng giác) sao cho sin α = m. Khi đó:

• sin x = m ⇔ x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π (k ∈ ℤ)

Giải thích: Trên đường tròn lượng giác, có hai điểm M và M' đối xứng qua trục tung cùng có tung độ bằng m, tương ứng với hai họ góc trên.

Công thức nghiệm của phương trình cos x = m:

Tương tự, nếu m ∉ [-1; 1] thì phương trình vô nghiệm.

Nếu m ∈ [-1; 1], tìm góc α sao cho cos α = m. Khi đó:

• cos x = m ⇔ x = α + k2π hoặc x = –α + k2π (k ∈ ℤ)

Giải thích: Hai điểm trên đường tròn có cùng hoành độ đối xứng qua trục hoành.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin x = ½.

Hướng dẫn:

Ta biết sin(π/6) = ½ và sin(5π/6) = ½ (vì 5π/6 = π – π/6).

Vậy nghiệm là:

• x = π/6 + k2π hoặc
• x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 2: Giải phương trình cos x = –1.

Hướng dẫn:

Trên đường tròn lượng giác, điểm có hoành độ –1 là điểm (–1;0) ứng với góc π.

Do đó, cos x = –1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).

Ta có thể viết gọn: x = π + k2π (k ∈ ℤ).

Ví dụ 3: Giải phương trình sin x = 2.

Hướng dẫn:

Vì 2 > 1, không thỏa điều kiện –1 ≤ m ≤ 1 nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình cos x = √3/2.

Hướng dẫn:

Ta có cos(π/6) = √3/2, cos(–π/6) = √3/2.

Vậy nghiệm:

• x = π/6 + k2π hoặc
• x = –π/6 + k2π (k ∈ ℤ)

4. Ghi nhớ

• Phương trình sin x = m và cos x = m chỉ có nghiệm khi –1 ≤ m ≤ 1.
• Công thức nghiệm sin: x = α + k2π và x = π – α + k2π.
• Công thức nghiệm cos: x = α + k2π và x = –α + k2π.
• Ký hiệu k ∈ ℤ có nghĩa là k nhận mọi giá trị nguyên (…, –2, –1, 0, 1, 2, …).
• Việc xác định α có thể dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt (các góc 30°, 45°, 60°, …) hoặc máy tính cầm tay.

5. Bài tập gợi ý

1. Giải phương trình sin x = 0.
2. Giải phương trình cos x = 0.
3. Giải phương trình sin x = –½.
4. Giải phương trình cos x = 1.
5. Tìm số nghiệm của phương trình sin x = ¼ trong khoảng (0; 2π).