Bài tập: Phương trình lượng giác tổng hợp

Giới thiệu

Chào các em, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu các phương trình lượng giác cơ bản như sinx = a, cosx = a, tanx = a và cotx = a. Tuy nhiên, trong thực tế, các bài toán thường xuất hiện dưới dạng kết hợp nhiều công thức lượng giác, đòi hỏi các em phải biến đổi linh hoạt. Bài học hôm nay sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác tổng hợp thông qua các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ

Để giải quyết tốt các bài tập, các em cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản:

• Công thức cộng: sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb; cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sina sinb.
• Công thức nhân đôi: sin2a = 2 sina cosa; cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a.
• Công thức hạ bậc: sin²a = (1 – cos2a)/2; cos²a = (1 + cos2a)/2.
• Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng.

Khi giải phương trình, các em thường thực hiện theo các bước:

1. Biến đổi phương trình về dạng tích hoặc dạng cơ bản.
2. Sử dụng các công thức lượng giác phù hợp.
3. Giải các phương trình cơ bản và kết hợp nghiệm (nếu cần).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin2x + cosx = 0

Hướng dẫn giải:

Ở đây ta thấy xuất hiện sin2x và cosx. Ta dùng công thức nhân đôi: sin2x = 2 sinx cosx. Phương trình trở thành:

2 sinx cosx + cosx = 0

⇔ cosx (2 sinx + 1) = 0

Đây là phương trình tích. Ta giải hai trường hợp:

• cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
• 2 sinx + 1 = 0 ⇔ sinx = –1/2 ⇔ x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π, k ∈ Z.

Vậy nghiệm của phương trình là: x = π/2 + kπ; x = –π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π (k ∈ Z).

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x – sin²x = 0

Hướng dẫn giải:

Ta có thể biến đổi cos2x theo sin²x: cos2x = 1 – 2sin²x. Phương trình trở thành:

1 – 2sin²x – sin²x = 0

⇔ 1 – 3sin²x = 0

⇔ sin²x = 1/3

⇔ sinx = √(1/3) = ±1/√3.

Giải các phương trình cơ bản:

• sinx = 1/√3 ⇔ x = arcsin(1/√3) + k2π hoặc x = π – arcsin(1/√3) + k2π, k ∈ Z.
• sinx = –1/√3 ⇔ x = arcsin(–1/√3) + k2π hoặc x = π – arcsin(–1/√3) + k2π, k ∈ Z.

Vậy nghiệm của phương trình là: các họ nghiệm trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình: sinx + cosx = 1

Hướng dẫn giải:

Bài này ta dùng công thức biến đổi asinx + bcosx. Ta có:

sinx + cosx = √2 sin(x + π/4). Phương trình trở thành:

√2 sin(x + π/4) = 1

⇔ sin(x + π/4) = 1/√2 = sin(π/4)

Giải:

• x + π/4 = π/4 + k2π ⇔ x = k2π, k ∈ Z.
• x + π/4 = π – π/4 + k2π = 3π/4 + k2π ⇔ x = π/2 + k2π, k ∈ Z.

Vậy nghiệm: x = k2π; x = π/2 + k2π (k ∈ Z).

Ghi nhớ

• Luôn đưa phương trình về dạng tích hoặc dạng cơ bản.
• Sử dụng linh hoạt các công thức nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích.
• Khi giải xong, kiểm tra điều kiện (nếu có) và viết nghiệm chính xác.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập các bài sau:

1. Giải phương trình: sin2x – cosx = 0.
2. Giải phương trình: cos2x + sinx = 0.
3. Giải phương trình: sinx – cosx = √2.
4. Giải phương trình: 2sin²x – 3sinx + 1 = 0. (Gợi ý: đặt t = sinx, với –1 ≤ t ≤ 1).

Chúc các em học tốt và làm bài tập thành công!