Ôn tập đại số

Bài: Ôn tập đại số

Giới thiệu

Các em học sinh thân mến, trong chương trình toán lớp 7, chúng ta đã cùng nhau khám phá những kiến thức đại số quan trọng. Bài ôn tập hôm nay sẽ giúp các em hệ thống lại một cách cô đọng nhất về các khái niệm đã học, từ đó nắm vững và vận dụng thành thạo vào giải toán. Hãy cùng bắt đầu nhé!

Lý thuyết cần nhớ

1. Biểu thức đại số và giá trị của biểu thức đại số

• Biểu thức đại số là biểu thức bao gồm các số, các chữ (đại diện cho số) và các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa). Ví dụ: 2x + 3y - 5, 4a² - b.
• Giá trị của biểu thức đại số là kết quả ta nhận được sau khi thay các chữ bằng những số cụ thể rồi thực hiện các phép tính.

2. Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến (ví dụ: đa thức biến x, đa thức biến y). Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử.
• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức.
• Nghiệm của đa thức một biến: Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 (P(a) = 0), thì a được gọi là một nghiệm của đa thức P(x).

3. Các phép toán trên đa thức một biến

• Cộng và trừ đa thức: Ta có thể thực hiện theo cách cộng (trừ) theo cột dọc (sắp xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột) hoặc theo hàng ngang (nhóm các hạng tử cùng bậc rồi tính).
• Nhân đa thức: Nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả lại với nhau. Đặc biệt, nhân hai đa thức một biến thường dùng quy tắc nhân phân phối.
• Chia đa thức cho đơn thức: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả lại (điều kiện: đơn thức chia phải khác 0).

4. Một số dạng toán thực tế liên quan

• Bài toán về tỉ lệ: Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết các bài toán chia phần, tính theo tỉ lệ.
• Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch: Nhận biết qua công thức y = k.x (tỉ lệ thuận) hoặc y = a/x (tỉ lệ nghịch) và vận dụng vào thực tế như tính quãng đường, thời gian, công việc.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức đại số

Cho biểu thức A = 2x² - 3x + 1. Tính giá trị của A tại x = -1 và x = 2.

• Tại x = -1, ta thay vào: A = 2.(-1)² - 3.(-1) + 1 = 2.1 + 3 + 1 = 6.
• Tại x = 2, ta thay vào: A = 2.2² - 3.2 + 1 = 2.4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3.

Kết luận: A = 6 khi x = -1; A = 3 khi x = 2.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức

Cho đa thức P(x) = 2x - 6. Tìm nghiệm của đa thức.

• Giải phương trình P(x) = 0 hay 2x - 6 = 0.
• Ta có: 2x = 6, suy ra x = 3.
• Vậy x = 3 là một nghiệm của đa thức P(x).

Ví dụ 3: Cộng hai đa thức một biến

Cho A(x) = x³ - 2x² + 3x - 5 và B(x) = -x³ + 3x² - x + 2. Tính A(x) + B(x).

• Ta thực hiện cộng theo hàng ngang: A(x) + B(x) = (x³ - x³) + (-2x² + 3x²) + (3x - x) + (-5 + 2).
• Kết quả: 0.x³ + x² + 2x - 3 = x² + 2x - 3.

Ghi nhớ

1. Khi tính giá trị biểu thức: thay đúng giá trị của biến vào đúng vị trí, chú ý dấu ngoặc và thứ tự thực hiện phép tính (lũy thừa trước, nhân chia sau, cộng trừ cuối cùng).
2. Khi tìm nghiệm của đa thức: cho đa thức bằng 0 rồi giải tìm biến. Một đa thức có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.
3. Khi thực hiện phép tính trên đa thức: sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến để dễ nhóm hạng tử cùng bậc. Cẩn thận với dấu của các hạng tử khi phá ngoặc.

Bài tập gợi ý

1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
   • P = 3a - 2b + 5 tại a = 0, b = 1.
   • Q = x²y - 3xy² + 1 tại x = 2, y = -1.
2. Cho hai đa thức: A(x) = 4x³ - 2x + 7 và B(x) = 2x³ + 3x² - 5x - 1.
   • Tính A(x) + B(x).
   • Tính A(x) - B(x).
3. Tìm nghiệm của các đa thức sau (nếu có):
   • M(x) = 3x + 12.
   • N(x) = x² - 4.
4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Gọi chiều rộng là x (m). Hãy viết biểu thức đại số biểu diễn chu vi của mảnh vườn theo x. Tính chu vi khi x = 10m.

Hãy tự làm các bài tập trên để kiểm tra mức độ hiểu bài của mình nhé! Chúc các em học tốt.