Ôn tập đại số

Ôn tập đại số – Toán 8 (Chương trình CTST)

Giới thiệu bài học

Trong chương trình Toán 8, các em đã được học nhiều kiến thức quan trọng về đại số, từ hằng đẳng thức, phân thức đại số cho đến phương trình bậc nhất. Bài ôn tập này sẽ giúp chúng ta hệ thống lại những nội dung cốt lõi, củng cố kỹ năng biến đổi biểu thức và giải phương trình, đồng thời rèn luyện tư duy logic để chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra cuối năm.

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Đây là công cụ quan trọng giúp rút gọn và biến đổi biểu thức đại số. Các em cần nhớ:

• (A + B)² = A² + 2AB + B²
• (A – B)² = A² – 2AB + B²
• A² – B² = (A – B)(A + B)
• (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
• (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
• A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)
• A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: (x + 3)² – (x – 3)².

Giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
(x + 3)² – (x – 3)² = [(x + 3) – (x – 3)]·[(x + 3) + (x – 3)] = (x + 3 – x + 3)(x + 3 + x – 3) = 6·(2x) = 12x.

II. Phân thức đại số

Phân thức đại số có dạng A/B với A, B là các đa thức và B ≠ 0. Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức thực hiện tương tự như phân số nhưng cần lưu ý đến việc quy đồng mẫu thức và rút gọn.

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: \(\frac{2x}{x+3} + \frac{6}{x^2 – 9}\).

Giải:
– Phân tích mẫu: x² – 9 = (x – 3)(x + 3). Mẫu thức chung là (x + 3)(x – 3).
– Quy đồng: \(\frac{2x}{x+3} = \frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\).
– Cộng hai phân thức: \(\frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x(x-3) + 6}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x^2 – 6x + 6}{(x+3)(x-3)}\).
– Rút gọn (nếu có thể): Không rút gọn thêm được, giữ nguyên kết quả.

III. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax + b = 0 (a ≠ 0). Các bước giải cơ bản:

1. Áp dụng quy tắc chuyển vế: đổi dấu hạng tử khi chuyển vế.
2. Áp dụng quy tắc nhân (chia) với cùng một số khác 0.
3. Rút gọn và kết luận nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2(x – 1) + 3 = 5 – x.

Giải:
– Bước 1: Mở ngoặc: 2x – 2 + 3 = 5 – x ⇔ 2x + 1 = 5 – x.
– Bước 2: Chuyển vế: 2x + x = 5 – 1 ⇔ 3x = 4.
– Bước 3: Chia cả hai vế cho 3: x = 4/3.
– Vậy phương trình có nghiệm x = 4/3.

IV. Một số dạng phương trình phức tạp hơn

Ngoài phương trình bậc nhất, trong chương trình ôn tập, em cần nhớ cách giải phương trình tích (A·B = 0) và phương trình chứa ẩn ở mẫu (cần tìm điều kiện xác định).

Ví dụ 4: Giải phương trình tích: (x – 2)(3x + 6) = 0.

Giải: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0:
– x – 2 = 0 ⇔ x = 2.
– 3x + 6 = 0 ⇔ 3x = –6 ⇔ x = –2.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 và x = –2.

Ghi nhớ

• Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng linh hoạt.
• Khi làm việc với phân thức đại số, luôn nhớ điều kiện xác định (mẫu số khác 0) và rút gọn triệt để.
• Giải phương trình: nếu có mẫu số, phải tìm điều kiện xác định trước khi quy đồng và khử mẫu.
• Kiểm tra lại nghiệm sau khi giải, nhất là với phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài tập gợi ý

1. Rút gọn biểu thức: (2a + 1)² – (a – 3)(a + 3).
2. Thực hiện phép tính: \(\frac{5}{x-2} – \frac{3}{x+2} + \frac{4x}{x^2 – 4}\).
3. Giải phương trình: 4(x – 3) = 2x + 10.
4. Giải phương trình: (2x – 5)(x + 1) = 0.
5. Giải phương trình: \(\frac{2x}{x+1} = \frac{3}{x-1}\).