Bài tập: Ôn tập đại số

Ôn tập cuối năm – Bài tập: Ôn tập đại số

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 8, phần Đại số bao gồm nhiều kiến thức quan trọng như: nhân chia đa thức, hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử, phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bài ôn tập này sẽ giúp các em củng cố lại toàn bộ kiến thức đó thông qua các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, từ đó tự tin bước vào kì thi cuối năm.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi làm bài tập, các em hãy ôn lại một số kiến thức cốt lõi sau:

• Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
• Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: (a+b)², (a-b)², a²-b², (a+b)³, (a-b)³, a³+b³, a³-b³.
• Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp.
• Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 (a ≠ 0). Cách giải: ax = -b ⇔ x = -b/a.
• Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b > 0 (hoặc <, ≥, ≤). Cách giải tương tự phương trình nhưng chú ý đổi chiều bất phương trình khi nhân/chia với số âm.
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Chọn ẩn, đặt điều kiện, lập phương trình, giải và đối chiếu điều kiện.

Ví dụ minh họa có hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

Đề bài: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức A = (2x – 1)² – (2x + 1)² tại x = -3.

Hướng dẫn giải:

1. Áp dụng hằng đẳng thức: A = (2x – 1 – (2x + 1)) . (2x – 1 + 2x + 1)
2. Thu gọn trong ngoặc: A = (2x – 1 – 2x – 1) . (4x) = (-2) . (4x) = -8x
3. Thay x = -3 vào: A = -8 . (-3) = 24

Kết luận: Giá trị của A tại x = -3 là 24.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề bài: Phân tích đa thức B = x² – y² – 5x + 5y thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

1. Nhóm hạng tử: B = (x² – y²) – (5x – 5y)
2. Áp dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung: B = (x – y)(x + y) – 5(x – y)
3. Đặt nhân tử chung (x – y): B = (x – y)(x + y – 5)

Ví dụ 3: Giải phương trình

Đề bài: Giải phương trình: (2x – 3)(x + 1) – (2x – 3)(3x – 5) = 0

Hướng dẫn giải:

1. Đặt nhân tử chung (2x – 3): (2x – 3)[(x + 1) – (3x – 5)] = 0
2. Thu gọn trong ngoặc: (2x – 3)(x + 1 – 3x + 5) = 0 ⇔ (2x – 3)(-2x + 6) = 0
3. Áp dụng tính chất: A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0:
   – 2x – 3 = 0 ⇔ x = 3/2
   – -2x + 6 = 0 ⇔ x = 3
4. Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 3/2 và x = 3.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình

Đề bài: Giải bất phương trình: 3(x – 2) + 1 > 2x – 5

Hướng dẫn giải:

1. Mở ngoặc và thu gọn: 3x – 6 + 1 > 2x – 5 ⇔ 3x – 5 > 2x – 5
2. Chuyển vế: 3x – 2x > –5 + 5 ⇔ x > 0
3. Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Ví dụ 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đề bài: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và giảm chiều dài 2m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 24m². Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu?

Hướng dẫn giải:

1. Gọi chiều rộng ban đầu là x (m, x > 0). Chiều dài ban đầu là x + 5 (m).
2. Diện tích ban đầu: x(x + 5) (m²)
3. Sau khi thay đổi: chiều rộng mới: x + 3 (m); chiều dài mới: x + 5 – 2 = x + 3 (m). Diện tích mới: (x + 3)(x + 3) = (x + 3)² (m²)
4. Theo đề bài: (x + 3)² – x(x + 5) = 24
5. Giải phương trình:
   (x² + 6x + 9) – (x² + 5x) = 24
   ⇔ x² + 6x + 9 – x² – 5x = 24
   ⇔ x + 9 = 24 ⇔ x = 15 (thỏa mãn)
6. Chiều rộng ban đầu: 15m; chiều dài ban đầu: 15 + 5 = 20m.

Đáp số: Chiều dài 20m, chiều rộng 15m.

Ghi nhớ

• Luôn kiểm tra điều kiện của ẩn (nếu có) sau khi giải phương trình hoặc bất phương trình.
• Khi nhân hoặc chia hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, phải đổi chiều bất phương trình.
• Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần đọc kĩ đề, xác định các đại lượng đã biết và chưa biết, mối liên hệ giữa chúng.

Bài tập gợi ý

Các em hãy tự luyện tập thêm với các bài tập sau:

1. Rút gọn biểu thức: (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12x².
2. Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x² – 6xy + 3y² – 12z².
3. Giải phương trình: (x² – 4) + (x + 2)(3 – 2x) = 0.
4. Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: (x – 1)/3 – (x + 2)/2 ≤ 1.
5. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 2 và nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 370.