Bài tập: Ôn tập hình học

Bài tập: Ôn tập hình học

Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 8, các em đã được học nhiều kiến thức hình học quan trọng về tứ giác, tam giác đồng dạng, định lí Thales, và các công thức tính diện tích. Bài ôn tập này sẽ giúp em củng cố lại những kiến thức đó thông qua các bài tập điển hình, từ cơ bản đến nâng cao, có kèm hướng dẫn giải chi tiết.

Lý thuyết cần nhớ

Trước khi làm bài tập, em hãy ôn lại một số nội dung quan trọng sau:

• Tứ giác: Hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông và tính chất của chúng.
• Định lí Thales: Trong tam giác, nếu một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành các đoạn thẳng tỉ lệ.
• Tam giác đồng dạng: Các trường hợp đồng dạng của tam giác (cạnh - cạnh - cạnh, góc - góc, cạnh - góc - cạnh).
• Công thức diện tích: Diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Bài toán về tứ giác

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.

Hướng dẫn giải:

1. Xét tam giác ABC: M là trung điểm AB, N là trung điểm BC → MN là đường trung bình của tam giác ABC.
   → MN // AC và MN = ½ AC.
2. Tương tự, xét tam giác ADC: Q là trung điểm AD, P là trung điểm DC → QP là đường trung bình.
   → QP // AC và QP = ½ AC.
3. Suy ra MN // QP và MN = QP → MNPQ là hình bình hành (1).
4. Xét tam giác ABD: M là trung điểm AB, Q là trung điểm AD → MQ là đường trung bình.
   → MQ = ½ BD.
5. Trong hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD bằng nhau.
   → MN = ½ AC = ½ BD = MQ.
6. Từ (1) và MN = MQ → hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Kết luận: MNPQ là hình thoi (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Bài toán về tam giác đồng dạng

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính độ dài BC.
b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC. Tính độ dài AH.

Hướng dẫn giải:

1. a) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A:
   BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
   → BC = √100 = 10 cm.
2. b) Xét tam giác HBA và tam giác ABC:
   - Góc HBA là góc chung.
   - Góc BHA = góc BAC = 90° (vì AH là đường cao).
   → Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC (góc - góc).
3. Từ đó suy ra tỉ lệ: AH / AC = BA / BC
   → AH = (BA × AC) / BC = (6 × 8) / 10 = 48/10 = 4,8 cm.

Đáp số: BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

Ví dụ 3: Bài toán tổng hợp (định lí Thales và diện tích)

Đề bài: Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 4 cm, CD = 10 cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết diện tích tam giác AOB là 6 cm². Tính diện tích hình thang ABCD.

Hướng dẫn giải:

1. Vì AB // CD, áp dụng định lí Thales trong tam giác (xét tam giác ACD và BCD), ta có tỉ lệ:
   OA / OC = OB / OD = AB / CD = 4/10 = 2/5.
2. Gọi chiều cao từ O đến AB là h₁, đến CD là h₂. Do AB // CD, nên h₁ / h₂ = OA / OC = 2/5.
3. Diện tích tam giác AOB = ½ × AB × h₁ = 6 → ½ × 4 × h₁ = 6 → 2 × h₁ = 6 → h₁ = 3 cm.
4. Suy ra h₂ = (5/2) × h₁ = (5/2) × 3 = 7,5 cm.
5. Chiều cao của hình thang là h = h₁ + h₂ = 3 + 7,5 = 10,5 cm.
6. Diện tích hình thang ABCD = ½ × (AB + CD) × h = ½ × (4 + 10) × 10,5 = ½ × 14 × 10,5 = 7 × 10,5 = 73,5 cm².

Đáp số: 73,5 cm².

Ghi nhớ

• Khi chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông, cần vận dụng linh hoạt các tính chất về cạnh, góc và đường chéo.
• Với bài toán có đường cao trong tam giác vuông, thường dùng đồng dạng để tính độ dài đoạn thẳng.
• Trong hình thang, việc kẻ thêm đường thẳng song song hoặc sử dụng định lí Thales giúp tìm tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.
• Công thức diện tích và tỉ lệ diện tích thường đi kèm với tỉ lệ đồng dạng hoặc tỉ lệ đường cao.

Bài tập gợi ý

Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính độ dài AD và DC. (Gợi ý: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.)

Bài tập 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AB = 5 cm, CD = 11 cm. Tính diện tích hình thang.

Hướng dẫn: Em hãy tự vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và áp dụng các kiến thức đã ôn tập để giải. Nếu gặp khó khăn, hãy xem lại các ví dụ minh họa phía trên hoặc nhờ thầy cô, bạn bè hỗ trợ.