Ôn tập hình học

Bài: Ôn tập hình học (Lý thuyết và ví dụ)

Giới thiệu

Trong chương trình Toán 9, các em đã được học nhiều kiến thức hình học quan trọng, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, góc với đường tròn, cho đến hình trụ, hình nón, hình cầu. Bài ôn tập này sẽ giúp các em hệ thống lại những nội dung cốt lõi nhất, củng cố công thức và kỹ năng giải toán để chuẩn bị tốt cho bài kiểm tra cuối năm.

Lý thuyết trọng tâm

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Đây là nền tảng cho nhiều bài toán hình học phẳng. Các em cần nhớ:

• Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông: \(a^2 = b^2 + c^2\).
• Các hệ thức về cạnh và đường cao: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Khi đó:
  • \(AB^2 = BH \cdot BC\) và \(AC^2 = CH \cdot BC\).
  • \(AH^2 = BH \cdot CH\).
  • \(AB \cdot AC = AH \cdot BC\).
  • \(\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}\).
• Tỉ số lượng giác của góc nhọn: \(\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}\), \(\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}\), \(\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\), \(\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}\).

2. Đường tròn

• Tính chất đối xứng: Đường tròn là hình có tâm đối xứng (tâm) và có vô số trục đối xứng (đường kính).
• Liên hệ giữa đường kính và dây cung: Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung đó thành hai phần bằng nhau. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của dây cung (không phải đường kính) thì vuông góc với dây đó.
• Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Có ba vị trí: cắt nhau (d < R), tiếp xúc (d = R), không giao nhau (d > R).
• Tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm thì nó vuông góc với bán kính tại điểm đó. Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại một điểm trên đường tròn thì nó là tiếp tuyến.
• Vị trí tương đối của hai đường tròn: Có các trường hợp: cắt nhau, tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong, đựng nhau, ngoài nhau.

3. Góc với đường tròn

• Góc ở tâm: Số đo của góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
• Góc nội tiếp: Có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh là hai dây cung. Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn. Đặc biệt, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn (cung nằm trong góc).
• Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Dấu hiệu nhận biết: Tổng hai góc đối diện bằng 180°, hoặc góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

4. Hình trụ – Hình nón – Hình cầu

• Hình trụ: Diện tích xung quanh \(S_{xq} = 2\pi R h\). Thể tích \(V = \pi R^2 h\) (R là bán kính đáy, h là chiều cao).
• Hình nón: Diện tích xung quanh \(S_{xq} = \pi R l\) (l là độ dài đường sinh). Thể tích \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\).
• Hình cầu: Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi R^2\). Thể tích \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Tính độ dài BC và AH.

Hướng dẫn giải:

• Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Suy ra \(BC = 10\) cm.
• Áp dụng hệ thức lượng: \(AB \cdot AC = AH \cdot BC\). Suy ra \(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8\) cm.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm). Biết góc AMB bằng 60°. Tính số đo góc AOB.

Hướng dẫn giải:

• Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M, nên theo tính chất, OM là tia phân giác của góc AMB. Do đó, góc AMO = 30°.
• Xét tam giác MAO vuông tại A (do OA vuông góc với MA), ta có góc AOM = 90° - 30° = 60°.
• Lại có, OM là tia phân giác của góc AOB, nên góc AOB = 2 . góc AOM = 120°.

Ví dụ 3: Một hình nón có bán kính đáy R = 6 cm và đường cao h = 8 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Hướng dẫn giải:

• Đầu tiên, tính độ dài đường sinh l: \(l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) cm.
• Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = \pi R l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) (cm²).
• Thể tích: \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi\) (cm³).

Ghi nhớ

• Trong tam giác vuông: Cạnh huyền là cạnh dài nhất. Các tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc nhọn, không phụ thuộc vào kích thước tam giác.
• Đường tròn: Tiếp tuyến và dây cung có mối liên hệ chặt chẽ với góc. Cần phân biệt rõ góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
• Công thức hình không gian: Cần thuộc lòng các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, hình nón, hình cầu. Đặc biệt, hình nón có đường sinh liên quan đến bán kính đáy và chiều cao qua định lý Py-ta-go.

Bài tập gợi ý

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9 cm, CH = 16 cm. Tính AB, AC và AH.
2. Cho đường tròn (O; 5 cm). Dây AB cách tâm O một khoảng bằng 3 cm. Tính độ dài dây AB.
3. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo mỗi góc ở tâm AOB, BOC, COA.
4. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, chiều cao 10 cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Hãy tự giải và kiểm tra lại bằng cách vận dụng các công thức và tính chất đã ôn tập nhé!